Лекція 3. Електричнi кола постiйного струму

3.3. Метод контурних струмів

Метод контурних струмів заснований на другому законі Кірхгофа. Цей метод дозволяє зменшити кількість рівнянь у системі до:

.

Порядок розрахунку струмів у вітках електричного кола за методом контурних струмів можна подати наступним алгоритмом:

1. Вибираємо (довільно) напрямки струмів у вітках.
2. Вибираємо незалежні контури, й задаємо напрямки умовних струмів, які звуться контурними струмами.
3. Для кожного з вибраних контурів складаємо систему лінійних незалежних рівнянь за другим законом Кірхгофа. Розв’язання цієї системи дозволяє знайти всі контурні струми.
4. Визначаємо струми у вітках заданого електричного кола як алгебраїчну суму контурних струмів, що протікають відповідними вітками.

Розглянемо використання методу контурних струмів на прикладі розрахунку електричного кола, схема якого надана на рис. 3.13.

Довільно вибираємо напрямки струмів у вітках (див. рис. 3.13). Наведена схема містить три контри (І, ІІ, ІІІ). Вибираємо напрямки контурних струмів (І_к1, І_к2, І_к3) за часовою стрілкою. З наведеного рис. 3.13 видно, що контуром ІІІ замикається струм джерела живлення, тобто контурний струм третього контуру І_к3 визначається виключно струмом цього джерела. Отже безпосередньо маємо:

.

Таким чином для формування системи незалежних рівнянь використовуємо лише два контури (І та ІІ). Правило складання рівнянь засноване на тому, що кожен контурний струм створює у відповідному контурі відповідне розподілення напруги.

Вказане розподілення пов’язане з (визначається):

• даним контурним струмом та всіма опорами, які входять до цього контуру; ці напруги звуться власними напругами;
• суміжними контурними струмами та опорами віток, які є суміжними між відповідними контурами; ці напруги звуться взаємними напругами.

Рис. 3.13. Схема електричного кола до ілюстрації методу контурних струмів

Для схеми, наведеної на рис. 3.13 контурний струм І_к1 створює в першому контурі власну напругу:

,

а контурні струми І_к2, І_к3 внесуть до цього ж контуру взаємні напруги:

.

Знак «мінус» в останніх виразах означає, що контурний струм першого контуру й контурні струми інших контурів направлені протилежно один одному.

Аналогічно власна напруга, що утворюється струмом І_к2 у другому контурі, дорівнюватиме:

,

Взаємні напруги, які утворюються контурними струмами сусідніх (першим та третім) контурів, дорівнюватимуть:

.

За другим законом Кірхгофа алгебраїчна сума всіх внесених у контур напруг має дорівнювати нулю. Отже кінцева система рівнянь для електричного кола, що розглядається, матиме вигляд:

Під час використання методу контурних струмів зазвичай використовують канонічну форму запису такої системи рівнянь. При цьому вводять поняття:

• власний опір контуру, який є сумою опорів всіх віток, що утворюють даний контур (в загальному випадку цей опір позначається як R_ii, де і – номер контуру);
• взаємний опір контуру, який є загальним опором для даного та сусіднього контурів (в загальному випадку цей опір позначається як R_ii, де i, j – номери даного та сусіднього контуру відповідно);
• контурна напруга джерел, яка є алгебраїчною сумою напруги всіх джерел, що входять до даного контуру (цю напругу позначатимемо як U_кі, де і – номер контуру).

З урахуванням наведеного маємо:

          (3.9)

В наведених у (3.9) рівняннях використані позначення:

які відображають власні опори першого та другого контурів;

які відображають взаємні опори між відповідними контурами;

,

які відображають сумарні напруги джерел живлення, що діють в першому та другому контурі відповідно.

Під час складання системи рівнянь (3.9) користуються визначеними правилами встановлення знаків при елементах рівнянь, а саме:

• власний опір завжди має знак «плюс»;
• взаємному опору надається знак «плюс» за умови, що контурні струми відповідних суміжних контурів протікають крізь нього в одному напрямку, та знак «мінус» за умови, що вказані контурні струми протікають крізь взаємний опір в протилежних напрямках;
• напрузі джерела живлення, записаній в правій частині рівнянь, надається знак «плюс» за умови, що напрямок цієї напруги протилежний напрямку відповідного контурного струму (тобто за умови, що напрямок контурного струму співпадає з вказаним стрілкою напрямком збільшення потенціалу всередині даного джерела живлення), і знак «мінус» за умови, що напрямок вказаної напруги співпадає з напрямком відповідного контурного струму (тобто за умови, що напрямок контурного струму протилежний вказаному стрілкою напрямку збільшення потенціалу всередині даного джерела живлення).