Тема 1. Оформлення лекційного матеріалу з помірною кількістю схем і формул

Теорема 1. Якщо послідовність має границю, то вона обмежена.

Теорема 2. Кожна послідовність має не більш як одну границю.

Означення. Послідовність називають нескінченно малою, якщо її границя дорівнює нулю.

Теорема 3. Сума двох нескінченно малих послідовностей є нескінченно мала послідовність.

Доведення.

Нехай {a_n} і{b_n}- нескінченно малі послідовності. Тоді для довільного e>0 існують N₁, N₂, такі, що

                          "n>N₁: | a_n |<e/2                                                          (1)

                          "n>N₂: | b_n |<e/2                                                          (2)

взявши N=max{ N₁, N₂}маємо, що  "n>N виконуються нерівності (1) і (2) одночасно. Тому | a_n+ b_n |<e/2+e/2=e. Отже, lim (a_n+ b_n)=0.

Теорему доведено.

Теорема 4. Добуток нескінченно малої послідовності на обмежену послідовність є нескінченно мала послідовність.

Теорема 5. Нехай задано послідовність {a_n}. тоді, якщо  =a, то a_n=a+ a_n, де  =0. І навпаки, якщо a_n=a+ a_n, то=a.

Теорема 6. Якщо послідовності {a_n} і{b_n}- збіжні, то їх сума{a_n+b_n}- також збіжна послідовність і + =.

Теорема 7. Якщо послідовності {a_n} і{b_n}- збіжні, то їх добуток{a_nb_n}- також збіжна послідовність і =.

Наслідок 1. Сталий множник можна винести за знак границі: c=.

Наслідок 2. Якщо послідовності {a_n} і{b_n}- збіжні, то їх різниця{a_n-b_n}- також збіжна послідовність і -=.

Теорема 8. Якщо послідовності {a_n} і{b_n}, де b_n№0 для всіх n, збіжні і №0, то їх частка{a_n/b_n}- також збіжна послідовність і  / =.

Означення. Послідовність називається нескінченно великою, якщо для кожного додатнього A знайдеться таке N, що для всіх n>N виконується нерівність  | a_n |>A. Границю такої послідовності вважають рівною нескінченності.

Надалі при формулюванні та доведенні теорем будемо застосовувати спеціальні позначення, які називають кванторами. Так, символ " позначає поняття «для всіх», його ще називають квантором загальності, а символ  $ позначає поняття «знайдеться», і його називають квантором існування. Символ  $! позначає поняття «існує, причому єдине».

Теорема 9. Якщо послідовність {a_n}, де a_n№0 для всіх n- нескінченно велика, то послідовність {1/a_n}- нескінченно мала і навпаки.

Доведення.

Нехай {a_n}- нескінченно велика послідовність. Тоді ("A>0) $N("n>N): | a_n |>A.          (1)

Приймемо e=1/A, тоді з (1) випливає, що 1/ | a_n |<1/A=e. Отже, =0 і послідовність є нескінченно малою.

Доведення другої частини проводиться в зворотному порядку. (Проведіть його).

Теорема (Вейєрштраса). Якщо числова послідовність зростає (спадає) і обмежена зверху (знизу) то вона має скінченну границю.