Тема 2. Метод скінченних елементів. Математичні основи методу скінченних елементів

2. Історія розвитку методу скінченних елементів

В період з 1850 по 1875 рр. завдяки зусиллям Максвелла, Кастільяно та Мора були вироблені основні концепції теорії аналізу стержневих конструкцій. Ці концепції легли в основу матричних методів будівельної механіки, які остаточно оформилися лише через 80 років і у свою чергу стали основою методу скінченних елементів.

Розвиток теорії і допоміжних дисциплін, що відносяться до методу скінченних елементів, був особливо слабким в період з 1875 по 1920 р. Це відбувалося в основному через наявність реальних труднощів при вирішенні рівнянь лінійної алгебри з великим числом невідомих.

Приблизно до 1920 р. завдяки зусиллям Мейні в США і Остенфельда в Нідерландах були сформульовані основні ідеї чисельного дослідження рамних і фермових конструкцій, засновані на заданні переміщень як невідомих параметрів. Ці ідеї передували сучасним матричним методам дослідження конструкцій, проте важливим стримуючим чинником при аналізі була розмірність задач, що визначалась числом невідомих параметрів переміщень або навантажень.

Ключові ідеї МСЕ в сучасному вигляді прослідковуються в роботах Олександра Хренікова (1941) та Річарда Куранта (1942). Проте, в зв’язку з великою розрахунковою складністю, практичні реалізації методу у формі завершених комп’ютерних програм були створені лише наприкінці 50-х в Штутгартському університеті (Аргеріс), університеті Берклі (Клаф) та університеті Суонсі (Зінкевич, Айронс).

В кінці 50-х - на початку 60-х років з розвитком обчислювальної техніки в будівельній механіці сталася революція, пов’язана з відмовою від багаточисельних вузько орієнтованих прийомів розрахунку. Сталося перенесення центру тяжіння у фундаментальні дослідження методів механіки твердого тіла і математичної фізики, а в інженерній практиці - на прийоми і методи побудови комп’ютерних моделей.

Першою процедурою, яка була реалізована на ЕОМ того періоду, було вирішення систем лінійних рівнянь. Ця процедура, з одного боку, лежить в основі практично всіх чисельних методів, з іншого боку, порівняно проста в реалізації, хоч і пов’язана з великою кількістю обчислень.

Потім було швидко усвідомлено, що можливість вирішення на ЕОМ систем лінійних рівнянь викликає інші проблеми. Складання великих систем і подальша обробка їх розв’язків - обчислення параметрів напружено-деформованого стану - виявилося також дуже трудомістким. Згодом ці процедури також були реалізовані в програмному забезпеченні.

Реалізація інших етапів розрахунку (розрахункові сполучення зусиль, розрахункові сполучення навантажень, підсистеми конструювання та ін.) і їх інтеграція усередині програмних комплексів продовжується і в даний час.