Тема 4. Метод скінченних елементів (МСЕ). Загальні відомості. Історія та реалізація

Поява ЕОМ зумовила інтенсивну розробку чисельних методів, які, так або інакше, ґрунтувалися на трьох основних методах:

1.    Метод сил – основний метод докомп’ютерної епохи, який охоплював можливості різних хитрувань з метою скорочення кількості обчислень (багаточисельні варіанти розрахункових схем, метод пружного центру та ін.). Незабаром з’ясувалося, що метод сил є неперспективним зважаючи на труднощі алгоритмізації побудови розрахункових схем, і надалі від нього довелося відмовитися.

2.    Варіаційно-різницеві методи – розроблялися для вирішення задач розрахунку пластин і оболонок, ґрунтувалися на методах дискретизації функціоналу потенційної енергії (методи Рітца і Гальоркіна).

3.    Метод переміщень – лежить в основі більшості сучасних програмних комплексів скінченно-елементного моделювання, його особливостями є дискретизація пластинчатих систем на основі стержневих апроксимацій та ітераційний (кроковий) метод для вирішення нелінійних задач.

Починаючи з середини п’ятдесятих років МСЕ в своєму розвитку пройшов через ряд безперервних модифікацій. Були сформульовані спеціальні елементи для плоского напруженого стану, введені скінченно-елементні співвідношення для деформівного твердого тіла, пластин, що згинаються, тонких оболонок та інших конструктивних форм. Як тільки були отримані співвідношення для дослідження статичної поведінки лінійно пружного матеріалу, увага фахівців переключилася на такі аспекти, як динамічна поведінка, геометрична і фізична нелінійності. Услід за цими дослідженнями настав період досить інтенсивного розвитку обчислювальних програм загального призначення, обумовлений бажанням забезпечити практиків можливістю застосовувати вказаний метод.

На сучасному етапі можна виділити три основних напрями розвитку чисельних методів розрахунку конструкцій:

1)    пошуки альтернативних МСЕ чисельних методів;

2)    вдосконалення МСЕ;

3)    вдосконалення програмних комплексів, що реалізують МСЕ.

В 70-80-і роки розроблялися методи, альтернативні МСЕ в переміщеннях. В основному це методи, засновані на варіаційних формулюваннях, відмінних від функціонала в переміщеннях:

1)    метод напружень, в якому використовується функціонал додаткової енергії Кастільяно;

2)    змішані та гібридні методи;

3)    метод граничних інтегральних рівнянь – дозволяє виразити значення переміщень усередині області через значення на границі, проте непридатний для неоднорідних областей і складної геометрії області.

У зв’язку з тим, що дійсної альтернативи МСЕ в переміщеннях знайти не вдалося, в даний час спостерігається спад в подібних наукових розробках.