Лекція 1.1 Загальні питання про спеціалізовані програмні продукти

6.2. Структура похибок чисельних методів

Є чотири джерела похибки результату: математична модель, вихідні дані, наближений метод розв’язування задачі й округлення при обчисленнях.

Похибка математичної моделі пов’язана з певними спрощеннями моделі, через неможливість врахувати абсолютно всі зовнішні впливи на досліджуваний об’єкт.

Похибка вихідних даних виникає зазвичай через неточні вимірювання й не достатню точність приладів вимірювання. За певних вимірювань точність до ходить до 10^-12, але астрологічна й геодезична точність дорівнює 10^-9, а в багатьох технічних задачах похибка вимірювання становить 1 … 10 %. Задля усунення цієї похибки слід вдосконалювати методику й прилади вимірювань.

Похибка методу пов’язана з використовуванням наближених методів, про які йшла мова вище. Наближені методи зазвичай будуються в такий спосіб, що до них входить певний параметр; за прагнення параметра до певної границі по хибка методу прагне до нуля, тому цю похибку можна регулювати. Похибку методу доцільно обирати в такий спосіб, щоби вона була в удвічі – уп’ятеро ра зів менше запохибку вихідних даних; при цьому слід пам’ятати, що значно ме нша похибка зазвичай потребує відчутного збільшення обсягу обчислень.

Похибка округлення виникає через те, що, як на папері, так і на комп'ютері всі обчислення здійснюються з певною кількістю значущих цифр; причому ця похибка накопичується упродовж розрахунків. На сучасних комп’ютерах числа може бути подано з різною кількістю значущих цифр; наприклад, дійсні (float) - з 6-ма значущими цифрами, подвоєної точності (double) - з 10-мазначущими цифрами. При складанні програми обчислень на комп’ютері проектувальник може обрати потрібне йому подання чисел. За будь-яких обчислень є справедливим правило: слід контролювати стільки значущих цифр, щоби похибка округлення була істотно меншою за всю решту похибок.

Похибка обчислень ε, записана у формулі (1.2), називається абсолютною похибкою. Величину δ, обчислювану як відношення абсолютної похибки до наближеного розв’язку.

Відносна похибка зазвичай записується у відсотках.

На практиці для рішення практичних задач для обчислень складних моделей використовують комп’ютер, для якого найчастіше треба скласти програмуякою завгодно алгоритмічною мовою (наприклад Pascal, Basic, C++ тощо), що переважно можуть виконати лише кваліфіковані програмісти. Для полегшення роботи при виконуванні інженерних обчислень розроблено спеціальні математичні пакети, які відносяться до систем комп’ютерної математики. Існує багато пакетів, з деякими ви вже знайомі .