Тема 5. Функції. Процедури. Пакети. Вектори та матриці

4. Векторна алгебра

UNSW. Vectors and Matrices

Лінійна алгебра - частина алгебри, що вивчає теорії лінійних рівнянь, визначників, матриць, векторних просторів, тензорне числення.

Лінійні рівняння як рівняння прямих і площин стали предметом вивчення після винаходу Декартом і Ферма методу координат (близько 1636). Гамільтон у 1833 представляв комплексні числа у вигляді двовимірного дійсного векторного простору, йому належить авторство терміну «вектор». Теорія матриць була розроблена у працях Келі (1850). Системи лінійних рівнянь вперше з’явилися у роботах Лагерра (1867).

Векторним (або лінійним простором) називають множину векторів, до якої належать вектори з будь-яким можливим значенням компонент. Для того щоб множина векторів складала векторний простір на ній повинен діяти ряд аксіом: комутативності, асоціативності, дистрибутивності, додавання і множення на скаляр, існування нульового і протилежного елемента.

Число n, яке визначає кількість елементів вектора називається розмірністю векторного простору. Лінійна алгебра вивчає векторні простори скінченної розмірності.

Головними об’єктами лінійної алгебри є такі абстрактні поняття, як масиви (array), вектори (vector) і матриці (matrix).

Вектор - індексована сукупність чисел або інших математичних об’єктів [x₁, x₂, .., x_n]. Часто вектор записують у вигляді стовпчика.

Вектор АВ (або ж a) має початок - точку А і кінець - точку В. Вектор є направлений відрізок прямої. Пряма, на якій лежить вектор, називається лінією дії вектора. Два вектори є колінеарні, якщо вони лежать на одній прямій або на паралельних прямих. Якщо вектори колінеарні, то їх відповідні координати пропорційні. Рівні вектори мають однакові координати. Нульовий вектор має нульові координати – його початок збігається з кінцем.

Елементи векторів є індексованими змінними – місце кожного елемента вектора визначається його індексом. Виклик i-го елемента вектора a здійснюється записом a[i], привласнення нового значення x i –му елементу вектора a має вигляд a[i]=x.

Операції над векторами

Сумою двох векторів є вектор, побудований на діагоналі паралелограма, що проходить через загальне початок, що має той же початок і довжину. Для двох векторів a(a₁,a₂) і b(b₁,b₂) в площині маємо: (a₁+b₁, a₂+b₂). Аналогічно, різниця векторів a(a₁,a₂) і b(b₁,b₂) є вектор с координатами (a₁-b₁, a₂-b₂).

Добутком вектора a(a₁,a₂) на число k є вектор c(k a₁, k a₂).

Ортом вектора a є вектор одиничної довжини, який має той же напрямок, що і вектор a. Орт визначається діленням компонентів вектора на його довжину: e = a / |a|.

Векторним добутком двох векторів a × b є вектор, який:

• перпендикулярний площині векторів a і b;
• його модуль рівняється модулю векторів a і b на синус кута між ними;
• векторний добуток двох колінеарних векторів рівняється нулю.

Приклад 1. Дано А₁(7,0,3), А₂(3,0,1), А₃(3,0,5). Знайти площу трикутника А₁А₂А₃.

Рішення. Знайдемо координати векторів А₁А₂(-4,0,-2) і А₁А₃(-4,0,2).

Площа трикутника рівняється половині площі паралелограма:

.

або ж через скалярний добуток:

або ж

Добутки трьох векторів

Найпростішим добутком трьох векторів є множенням скалярного добутку двох векторів а • b на третій вектор c: (a • b) c.

Векторно-векторний добуток трьох векторів є вектор: r = (a × b) × c. Вектор r перпендикулярний до вектора a × b і до вектора c.

Векторно-скалярним або мішаним добутком трьох векторів називається величина, яка одержується із скалярного множення векторного добутку (a × b) двох векторів на третій вектор c: (a × b) • c. Мішаний добуток є скаляр.

Векторно - скалярний добуток трьох векторів дорівнює нулю, коли вектори компланарні - об’єм паралелепіпеда, побудованого на компланарних векторах, дорівнює нулю. Також, векторно - скалярний добуток дорівнює нулю, якщо в ньому два множника однакові: (a, a, b) = 0.