Тема 3. Двовимірна (2D) графіка

1. Графічні примітиви 2D графіки

Більшість плоских геометричних фігур використовуються в 2D графіці. Для їх формування в площині необхідно мати відповідні системи координат.

Системи координат на площині

Основоположника координатного методу були французькі математики Декарт і Ферма (16 ст.). Метод координат є основою аналітичної геометрії та фундаментом комп’ютерної графіки.

Система координат - спосіб задання точок простору за допомогою чисел.

Кількість чисел, необхідних для однозначного визначення будь-якої точки простору, визначає його вимірність. Для двовимірного простору необхідні два числа, для тривимірного - три. Ці числа називаються координатами.

Елементами системи координат є:

початок координат - точка, від якої ведеться відлік відстаней;
одиниця довжини - величина, яка дозволяє відраховувати відстані.

На площині положення точки найчастіше визначається відстанями від двох прямих (координатних осей), що перетинаються в одній точці (початку координат) під прямим кутом. Одна з координат називається ординатою, а інша - абсцисою. Така система координат називається декартовою.

Також на площині можна встановити криволінійні системи координат, зокрема, полярну.

В цій системі положення точки задається двома числами: відстанню між точкою та початком координат ρ, і кутом φ між променем, який сполучає початок координат із точкою та обраною віссю.

Декартові та полярні координати точки зв’язані між собою формулами: x=ρ cos(φ), y=ρ sin(φ) .

На площині розрізняють системи координат: глобальну; локальну.

В 2D графіці:

кожна точка на екрані задається координатами (одиницями, пікселями);
координати точок використовуються для опису фігур;
при редагуванні фігур використовують різні системи координат і перетворення.

Геометричні фігури як плоскі графічні примітиви

Точка на площині задається двома координатами (x, y), які визначають її положення відносно початку координат.

Точка в КГ є допоміжним засобом для маркування та подальшого знаходження певної позиції в системі координат. Точку можна показати маркерами різних типів і розмірів. При друці точковий елемент, як правило, не видно.

Пряма (як відрізок) має тільки параметри положення, і не має параметрів формі (аналогічно точці). Задання прямої може здійснюватися:

двома точками відрізка
точкою і променем (відрізком) напряму.

Коло як геометричне місце точок площини, відстань від яких до заданої точки (центра кола), є постійною величиною і дорівнює радіусу кола.

Коло має:

один параметр форми (радіус або ж діаметр);
два параметри положення – координати центра кола в площині.

Дуга кола може будуватися залежно від способу завдання її параметрів.

Багатокутник, як замкнена ламана, може бути:

правильним – всі сторони однакової довжини;
неправильним – сторони багатокутника різної довжини.

Для правильного багатокутника параметрами форми є кількість його сторін (можливо до 1024) та радіус вписаного або ж описаного кола. Параметром положення правильного багатокутника є центр писаного або ж описаного кола.

Еліпс має:

два параметри форми, наприклад, дві півосі;
параметр положення, наприклад, центр еліпса.

NURBS-крива - нерегулярний раціональний В-сплайн (Non-Uniform Rational B-Spline). При введенні цієї кривої послідовно вказуються опорні точки, можливе звернення до кнопки Замкнутий і побудова відповідних кривих. Можна задавати характеристики кривої - вага характерної точки і порядок кривої.

Крива Без’є є окремим випадком NURBS-кривої.

Ламана - лінія, яка складається з послідовності відрізків.

Перетворення координат в площині

Сучана 2D графіка не можлива без ефективних інструментів редагування зображень – перетворень графічних примітивів в площині.

Розрізняють наступні види перетворень (відображення площини на себе):

рух (зберігає всі відстані між точками) - паралельний перенос; осьова симетрія; поворот навколо точки; центральна симетрія;
подібність – перетворення, при якому відстані між точками змінюються в одне й те ж число разів (це число є додатним і називається коефіцієнтом подібності).
гомотетія – перетворення подібності в якому подібні фігури мають рівні відповідні кути і пропорційні сторони.

Всі ці перетворення відносяться до афінних і аналітично описуються системою:

або ж у матричному вигляді та в однорідних координатах:

В залежності від коефіцієнтів матриці матимемо: