Тема 6. Інтерполяція та апроксимація. Обробка числових даних в Excel

3. Інтерполяційна формула Лагранжа

Вихідні дані:

• значення невідомої функції f(x) в двох і більше точках: f(_xо)=y_о; f(x₁)=y₁; ...; f(x_n)=y_n;
• порядок інтерполюючого багаточлена (n-1).

Суть методу. В якості інтерполюючого багаточлена візьмемо поліном виду:

 ,

причому значення P_n(x) у вузлах інтерполяції повинні співпадати із значеннями даної функції f(x), тобто: P_n(x)=f(x_i)=y_i(i=0,1,2,...,n).

Ця умова дозволяє перейти до системи із (n+1) лінійних рівнянь. Так як вузли інтерполяції різні, то дана система лінійних рівнянь має тільки єдине рішення. А значить, і інтерполяційний багаточлен P_n(x) існує і буде єдиними. Одержимо цей багаточлен наступним шляхом. Спочатку розглянемо допоміжний багаточлен F(x), який у вузлу інтерполяції x₀ приймає значення F₀(x₀)=1, а у всіх інших вузлах x_i(i=1,2,...,n) значення цього полінома рівняється нулю: F₀(x₁)=F₀(x₂)=...=F₀(x_n)=0. Такий багаточлен буде мати вигляд:

                                             .

Вузли інтерполяції x₁, x₂, ..., x_n являються коренями багаточлена F₀(x₀), а в точці x=x₀ чисельник рівняється знаменнику, а значить, F₀(x₀)=1. Аналогічний багаточлен побудуємо і для вузла x=x₁, вид якого:

                                             .

Такі ж багаточлени можна побудувати і для всіх інших вузлових точок інтерполяції. В загальному вигляді багаточлени F_i(x), (i=0,1,2,...,n) можна записати так:

                                 .

Тоді шуканий інтерполяційний багаточлен буде мати вигляд:

                            .

Добуток F_i(x)y_i (i=0,1,2,...,n) рівняється нулю у всіх вузлах інтерполяції, крім вузла xi, де вони рівняються yi. Причому, порядок багаточлена P_n(x) рівняється n, так як кожен член суми F_i(x)y_i також є порядку n.

Багаточлен виду P_n(x) називається інтерполяційним багаточленом Лагранжа. В свою чергу, інтерполяційна формула Лагранжа для визначення значень функцій в проміжних точках xÎ]x_о;x_n[, x¹x_i (i=0,1,...,n) має вигляд:

                               .

В частковому випадку, коли є два вузли інтерполяції, то ця формула представляє формулу лінійної інтерполяції, для трьох вузлів - формулу квадратичної інтерполяції.

Так як, багаточлен P_n(x) представляє собою параболічну криву n-го порядку, то така інтерполяція називається параболічною.

Похибка параболічній інтерполяції залежить від: 1) багаточлена; 2) похибок вузлів інтерполяції, а також 3) похибки обчислення.