Тема 6. Інтерполяція та апроксимація. Обробка числових даних в Excel

4. Сплайн інтерполяція

При інтерполюванні функцій з великою кількістю вузлів інтерполюючий поліном має високу степінь, що спричиняє його коливання між вузлами. Щоб зменшити степінь поліному всі вузли інтерполювання можна розбити на групи і будувати інтерполяційні поліноми з меншою кількістю вузлів. Але в цьому разі на стиках між поліномами порушуються аналітичні властивості інтерполюючого полінома, з’являються точки розриву похідних. Один з виходів з цього положення - використання сплайнів.

Сплайн на проміжку між вузлами інтерполювання є поліном невисокого степеня (n=3,4). Сплайн на всьому відрізку інтерполювання - це функція, яка складається із різних частин поліномів заданого степеня. Наочний приклад сплайна - це лекала.

Сплайн - функція, яка разом з кількома похідними неперервна на всьому заданому відрізку [ ], а на кожному частковому відрізку [ , ] окремо є деяким алгебраїчним многочленом.

Степенем сплайна називається максимальна по всіх частковим відрізкам степінь многочленів, а дефектом сплайна - різниця між ступенем сплайна і порядком найвищої безперервної на [ ] похідної. Наприклад, безперервна ламана є сплайном ступеня 1 з дефектом 1 (сама функція - неперервна, а перша похідна вже розривна).