Тема 7. Оптимізація

2. Чисельне вирішення одновимірних задач оптимізації

Постановка задач одновимірної оптимізації - знайти екстремум (найменше або найбільше) значення цільової функції                         , яка задана на множині .

Теорема Вейерштраса. Будь-яка функція  яка неперервна на відрізку , приймає на цьому відрізку своє найменше і найбільше значення, а тому на відрізку  існують такі точки , , що для будь-якого  виконується нерівність £ £ .

Точки в яких похідна функції  рівняється нулю називають критичними чи стаціонарними точками функції ). В критичних точка «швидкість функції» рівняється нулю. Функція ) може мати найменше (найбільше) значення в одній із двох граничних точок відрізка , або в якій-небудь її внутрішній точці. В цьому випадку точка обов’язково повинна бути критичною - необхідна умова екстремуму.

Для того щоб визначити найменше і найбільше значення функції f(x) на відрізку [a,b] необхідно знайти всі її критичні точки на даному відрізку, під’єднати до них граничні точки a i b для всіх цих точок порівняти значення функції. Найменше і найбільше із них дають рішення оптимізаційної задачі.

Приклад 1. Знайдемо екстремальні значення функції f(x)=3x⁴-4x³-12x²+2 на відрізку [-2,3].

Знайдемо похідну функції f¢(x)=12x³-12x²-24x. Для визначення критичних точок прирівняємо похідну функції до нуля і знайдемо всі корені цього рівняння: 12x³-12x²-24x=0: x₁=-1, x₂=0, x₃=0. Обчислимо значення функції в цих точках, а токож в граничних точках: f(-2)=34, f(-1)=-3, f(0)=2, f(2)=-30, f(3)=29. Порівняння цих чисел дозволяє визначити, що найбільше і найменше значення функції в точках відповідно: fmin=(-2)=-30 i fmax(-2)=34.

Метод рівномірно розподілення точок по відрізку

Візьмем деяке число                         , і обчислимо крок  і визначимо значення функції  в точках . Серед цих чисел найменше . Число  можна прийняти за найменше значення функції  на відрізку [ ]. Одна із проблем - це визначення кількості , щоб не пропустити екстремум функціїї.