ЛЕКЦІЯ 6. ОСНОВИ ТЕОРІЇ ПЕРСПЕКТИВИ

1. Центральна проекція знімка та ортогональна проекція плану

Побудова зображення об¢єкта (предмета) на будь-якій поверхні за визначеним законом називається проектуванням, а одержане зображення – проекцією об’єкта(предмета). Землевпорядник у своїй діяльності має справу в основному з двома видами проекцій - ортого-нальною і центральною. З геометричного погляду фотографування - є процес проектування множини точок об’єкта на площину негатива через об’єктив, вузлова точка якого є центром проектування.

У геодезії для одержання проекції невеликої ділянки земної поверхні всі точки проектують на горизонтальну площину прямовисними лініями. Такий спосіб проектування називається прямокутним, або ортогональним, а одержана проекція – ортогональною. Якщо точки простору проектувати на будь-яку поверхню Е променями, які виходять з однієї точки S, яка називається центр проекції, то такий спосіб проектування називається центральним (див. рис2.6б).

Рис.1. Види проекцій:а ортогональна; б центральна

Таким чином, аерофотознімок являє собою центральну проекцію фотографованого об’єкта. Центральна проекція ще називається перс-пективою об’єкта. Нехай А, В, С і D (рис. 2.7) - точки місцевості, а S- центр проекції. Тоді точки перетину а, в, с, d площини Р проектують променями AS, BS, CS і DS, є центральні проекції відповідних точок місцевості. Таку ж саму центральну проекцію можна побудувати й у тому разі, якщо площину проекції Р¢ провести з іншого боку від центру проектування і на тій же відстані від нього.

Оскільки негатив і позитив розміщуються симетрично щодо центру проекції, то вони однакові (конгруентні). Зазначимо, що зображення об'єкта на площині знімка, одержане в центральній проек-ції, називається перспективним зображенням.

Якщо центр проектування перенести на нескінченно велику відстань щодо місцевості, то проектувальні промені будуть взаємно паралельними. Їхній перетин з перпендикулярною до них площиною дає ортогональну проекцію точок місцевості. У топографії така проекція (за умови, що проектують прямовисні промені) називається горизонтальною.

Відмінність між ортогональною (горизонтальною) і центральною проекціями показано на рисунку 2.8. Точки місцевості A, B, C і D зображуються на площині Р у центральній проекції в точках a, b, c, d, а в ортогональній - у точках a_о, b_о, c_о, d_о. При переміщенні площини проекції в положення Р’’ взаємне положення точок a_о, b_о, c_о, побудованих в ортогональній проекції, не порушиться.

2. Елементи центральної проекції

Будь-яка лінія, проведена в картинній площині перпендикулярно до головної вертикалі ( й відповідно паралельно осі перспективи), називається горизонталлю.

Рис. 3. Елементи центральної проекції

Горизонталь, проведена через головну точку картини, називається головною горизонталлю h₀ h₀.

Горизонталь, проведена через точку нульових спотворень, називається лінією неспотворених масштабів h_c h_{c .}

Горизонталь, проведена через надирну лінію, називається надирною лінією.

Між елементами центральної проекції існують залежності:

3. Властивості перспективних зображень

Властивості центральної проекції:

• перспективним зображенням будь–якої точки місцевості, скажімо А, є точкаа і притому єдина (див. рис. 2.10). Будь-якій точці знімка, наприклад, а відповідає безліч точок місцевості A, A₁ і т.д.
• перспективним зображенням будь-якої прямої простору, нап-риклад ВС, яка не проходить через центр проекції, є пряма bc і притому єдина. Але вона зобразилася б точкою, якби розта-шовувалася на проектувальному промені, скажімо пряма DK і точка d (або k).

Будь-якому відрізку на знімку, наприклад bc, відповідає незліченна кількість відрізків місцевості BC, B ₁C₁ і т.д.

1. Відрізки продовжують до перетину з лінією основи картини. Одержані точки належать двом площинам - площині основи і площині знімка (картини).
2. На площині знімка знаходять положення головної точки збіжності J і будують лінію hihi перпендикулярну до головної вер-тикалі (лінію дійсного горизонту).

Рис.4. Перспективне зображення: а – точки місцевості, б – прямого простору

1. Через центр проекції S проводять промінь, паралельний заданим відрізкам. Він буде розміщений у площині дійсного горизонту. Перетин цього променя з лінією hihi визначає точку збіжності J¢ зображень відрізків.
2. З'єднують прямими лініями точку J¢ з точками, одержаними на лінії основи картини. Ці лінії на знімку є зображення променів, що йдуть від лінії основи картини через задані відрізки до безкінечності.
3. Проектують промені через точки, що обмежують відрізки. Їхній перетин із побудованими на знімку лініями й визначає шукане зображення.

Точка збіжності зображень вертикальних (прямовисних) прямих збігається з точкою надира n. Перетин B_о відрізка АВ із площиною знімка є на вертикальній площині, що проходить через пряму АВ, і паралельній площині головного вертикала. Тому відрізок NB_о є зобра-женням нескінченного прямовисного променя, який іде з точки B_о.

4. Епюри. Теорема шаля

Розрізняють епюри розтягнення і складання. Якщо предметну площину E обертати навколо основи картини ТТ так, щоб кут між цими площинами становив 180°, а площину дійсного горизонту E' обертати навколо лінії дійсного горизонту h_i h_i так, щоб кут між картинною площиною й площиною дійсного горизонту також становив 180°, то матимемо епюр розтягнення (рис. 2.13а,б). На епюрі розтягнення всі три площини продовжують одна одну.

Рис. 5. Епюри: а, б – розтягнення; в – складання

Епюр складання утворюється, якщо предметну площину і площину дійсного горизонту обертати в протилежні порівняно з епюром розтягнення сторони до збігу всіх трьох площин в одну (кут між площинами дорівнює 0).

Для дослідження масштабу перспективного зображення скористаємося перспективою сітки квадратів, в якій одна з сторін збігається з віссю перспективи ТТ , а інша – з проекцією головної вертикалі v_oV (рис. 2.14).

Теорема Шаля (Теорема про незмінність перспективи). Якщо обертати площину Т навколо основи картини tt’, а площину Е навколо лінії дійсного горизонту ii’, зберігаючи їх взаємну паралельність, то перспектива всякої точки А залишиться незмінною.

5. Перспектива кута

Розглянувши перспективу сітки квадратів необхідно відмітити, що утворені сторонами сітки прямі кути змінилися у перспективі однаково як у бік збільшення, так і в бік зменшення.

Рис. 6. Перспектива кута

6. Питання для самоконтролю

1. Назвіть властивості ортогональної та центральної проекцій.
2. Які основні площини центральної проекції?
3. У якому випадку зображення, побудовані у центральній проекції, відповідають зображенням, побудованим в ортогональній проекції?
4. Якій відстані у центральній проекції відповідає висота фотографування при аерофотозніманні?
5. Перспективи яких ліній перетинаються в головній точці збіжності?
6. У якій точці картинної площини масштаб найменший і в якій найбільший?
7. Покажіть напрямки осей координатної системи на просторовому кресленні центральної проекції.

7. Питання на самостійну підготовку

1. Масштаб перспективи
2. Перспектива точок, ліній і просторових фігур
3. Види проекцій