Тема 6. Інтерполяція та апроксимація. Обробка числових даних в Excel

1. Постановка задачі інтерполяції

При вирішенні багатьох практичних задач необхідно вирішувати дві взаємно обернені задачі: 1) по аналітичному завданні функції одержати значення для конкретних її аргументів (скласти таблицю значень функції в деяких її точках) - задача табулювання функції; 2) по заданим табличним значенням одержати проміжне значення (по деяким аналітичним виразам визначити значення функції для заданого аргументу) - задача інтерполяції.

Нехай деяка функція y=f(x) задана таблично - для заданих значень аргументу x_i задані значення функції y_i=f(x_i), i=0,..n). Необхідно знайти аналітичний вираз деякої функції, яка б співпадала з даною функцією f(x_i), а саме в точках x_i приймала значення y_i, i=0..n. З геометричної точки зору задача інтерполяції зводиться до знаходження рівняння кривої y=P(x), яка проходить через задані точки (x_i, y_i), i=0 ..n.

Наближену заміну функції y=f(x) на відрізку [a, b] однією із функцій y=P(x), так щоб функція y=P(x) в точках x_i, i=0..n набувала тих самих значень, що й функція y=f(x), тобто P(x_i)=y_i i=0..n називають інтерполюванням (або інтерполяцією). Точки x_i, i=0..n називають вузлами інтерполяції, функцію y=P(x) - інтерполюючою функцією, а формулу f(x)» P(x) - інтерполяційною формулою.

Інтерполяційний багаточлен будують у випадках:

• функцію задано таблично для деяких значень аргументу, а потрібно знайти її значення для аргументу, який відсутній у таблиці;
• функцію задано графічно, а потрібно знайти її наближений аналітичний вираз;
• функцію задано складним аналітичним виразом, який не зручний для інтегрування, диференціювання.

В залежності від виду функції y=P(x) методи інтерполяції поділяються на:

• параболічна (алгебраїчні поліноми) - лінійна, квадратична і т.д.
• трансцендентна (тригонометричні).

Як правило, під інтерполяцією розуміють наступні задачі:

• вибір найбільш задовільного способу побудови інтерполяційного багаточлена заданої функції для кожного конкретного випадку;
• оцінка похибки при заміщенні P_n(x)»f(x) для xÎ]a; b[;
• оптимальний вибір вузлів інтерполяції для одержання меншої похибки.

Задача екстраполяції - знаходження значення функції для аргументу який знаходитися за межами таблиці визначення функції.

2. Параболічна інтерполяція

Інтерполяція алгебраїчними поліномами називається параболічною інтерполяцією. Постановка параболічної інтерполяції має такий вигляд:

• для заданих значень f(x_i)=y_i, i=0..n побудувати багаточлен y=P(x)=a_oxⁿ+a₁x^n-1+..+a_n, де n - степені і який задовольняє вимоги:
• в точках x_i, i=0..n значення багаточлена P_n(x_i) співпадають із значенням даної функції f(x_i), тобто P_n(x_i)=f(x_i)=y_i, i=0..n;
• в будь-якій іншій точці xÎ]x_o;x_n[ виконується наближено рівність P_n(x)»f(x).

Геометрична сутність параболічної інтерполяції є в тому, що графік однієї функції f(x) заміщується графіком багаточлена P степеня n, причому ці два графіки мають (n+1) загальну точку.

Для параболічної інтерполяції кількість вузлів інтерполяції формує порядок поліному на одиницю менший.

Лінійна інтерполяція

Вихідні дані:

• задані значення функції f(x) в двох точках: f(x_о)=y_о і f(x₁)=y₁;
• порядок шуканого інтерполюючого багаточлена n=1.

Суть методу. Графік лінійної функції P₁(x)=a_ox+a₁ повинен проходити через дві точки (x_о;y_о) і (x₁;y₁). Тому шукані коефіцієнти a_o і a₁ можна визначити із системи лінійних рівнянь:
 

Вирішення цієї системи відносно a_o і a₁ одержуємо:

Тоді інтерполяційний багаточлен можна записати у вигляді:

Таким чином функцію f(x) можна перезадати наближено поліномом виду P₁(x), який називається формулою лінійної інтерполяції. З геометричної точки зору, формули лінійної інтерполяції заміщають дугу кривої y=f(x) на інтервалі [x₀; x₁] відрізком прямої лінії y=P₁(x), який проходить через точки (x_о;y_о) і (x₁;y₁) виду:

звідки:

Лінійну інтерполяцію часто використовують при роботі з готовими таблицями при знаходженні значення функції для проміжних значень аргументів.

Квадратична інтерполяція

Вихідні дані:

• задані значення функції f(x) в трьох точках: f(x_о)=y_о; f(x₁)=y₁; і f(x₂)=y₂;
• порядок шуканого інтерполюючого багаточлена n=2.

Суть методу. Графік квадратичної функції P₂(x)=a_ox²+a₁x+a₂ повинен проходити через вMaple три (x_о;y_о),(x₁;y₁) і (x₂;y₂). Тому шукані коефіцієнти a_o, a₁ і a₂ можна визначити із системи лінійних рівнянь:

Після вирішення цієї системи одержуємо інтерполяційний багаточлен виду

Таким чином функцію f(x) можна перезадати наближено поліномом виду P₂(x), який називається формулою квадратичної інтерполяції. З геометричної точки зору, формули квадратичної інтерполяції заміщають дугу кривої y=f(x) на інтервалі [x₀;x₁;x₂] параболічною кривою y=P₂(x), яка проходить через точки (x_о;y_о);(x₁;y₁) і (x₂;y₂).

3. Інтерполяційна формула Лагранжа

Вихідні дані:

• значення невідомої функції f(x) в двох і більше точках: f(_xо)=y_о; f(x₁)=y₁; ...; f(x_n)=y_n;
• порядок інтерполюючого багаточлена (n-1).

Суть методу. В якості інтерполюючого багаточлена візьмемо поліном виду:

 ,

причому значення P_n(x) у вузлах інтерполяції повинні співпадати із значеннями даної функції f(x), тобто: P_n(x)=f(x_i)=y_i(i=0,1,2,...,n).

Ця умова дозволяє перейти до системи із (n+1) лінійних рівнянь. Так як вузли інтерполяції різні, то дана система лінійних рівнянь має тільки єдине рішення. А значить, і інтерполяційний багаточлен P_n(x) існує і буде єдиними. Одержимо цей багаточлен наступним шляхом. Спочатку розглянемо допоміжний багаточлен F(x), який у вузлу інтерполяції x₀ приймає значення F₀(x₀)=1, а у всіх інших вузлах x_i(i=1,2,...,n) значення цього полінома рівняється нулю: F₀(x₁)=F₀(x₂)=...=F₀(x_n)=0. Такий багаточлен буде мати вигляд:

                                             .

Вузли інтерполяції x₁, x₂, ..., x_n являються коренями багаточлена F₀(x₀), а в точці x=x₀ чисельник рівняється знаменнику, а значить, F₀(x₀)=1. Аналогічний багаточлен побудуємо і для вузла x=x₁, вид якого:

                                             .

Такі ж багаточлени можна побудувати і для всіх інших вузлових точок інтерполяції. В загальному вигляді багаточлени F_i(x), (i=0,1,2,...,n) можна записати так:

                                 .

Тоді шуканий інтерполяційний багаточлен буде мати вигляд:

                            .

Добуток F_i(x)y_i (i=0,1,2,...,n) рівняється нулю у всіх вузлах інтерполяції, крім вузла xi, де вони рівняються yi. Причому, порядок багаточлена P_n(x) рівняється n, так як кожен член суми F_i(x)y_i також є порядку n.

Багаточлен виду P_n(x) називається інтерполяційним багаточленом Лагранжа. В свою чергу, інтерполяційна формула Лагранжа для визначення значень функцій в проміжних точках xÎ]x_о;x_n[, x¹x_i (i=0,1,...,n) має вигляд:

                               .

В частковому випадку, коли є два вузли інтерполяції, то ця формула представляє формулу лінійної інтерполяції, для трьох вузлів - формулу квадратичної інтерполяції.

Так як, багаточлен P_n(x) представляє собою параболічну криву n-го порядку, то така інтерполяція називається параболічною.

Похибка параболічній інтерполяції залежить від: 1) багаточлена; 2) похибок вузлів інтерполяції, а також 3) похибки обчислення.

4. Сплайн інтерполяція

При інтерполюванні функцій з великою кількістю вузлів інтерполюючий поліном має високу степінь, що спричиняє його коливання між вузлами. Щоб зменшити степінь поліному всі вузли інтерполювання можна розбити на групи і будувати інтерполяційні поліноми з меншою кількістю вузлів. Але в цьому разі на стиках між поліномами порушуються аналітичні властивості інтерполюючого полінома, з’являються точки розриву похідних. Один з виходів з цього положення - використання сплайнів.

Сплайн на проміжку між вузлами інтерполювання є поліном невисокого степеня (n=3,4). Сплайн на всьому відрізку інтерполювання - це функція, яка складається із різних частин поліномів заданого степеня. Наочний приклад сплайна - це лекала.

Сплайн - функція, яка разом з кількома похідними неперервна на всьому заданому відрізку [                         ], а на кожному частковому відрізку [ , ] окремо є деяким алгебраїчним многочленом.

Степенем сплайна називається максимальна по всіх частковим відрізкам степінь многочленів, а дефектом сплайна - різниця між ступенем сплайна і порядком найвищої безперервної на [ ] похідної. Наприклад, безперервна ламана є сплайном ступеня 1 з дефектом 1 (сама функція - неперервна, а перша похідна вже розривна).

Інтерполяція в середовищі Maple

При інтерполюванні функцій з великою кількістю вузлів інтерполюючий поліном має високу степінь, що спричиняє його коливання між вузлами.

5. Самоперевірка

Що таке інтерполяція?

Який порядок параболічної інтерполяції для 4-х вузлів інтерполяції?

Яка відмінність між параболічною та сплайн інтерполяціями?