Тема 4. Метод скінченних елементів (МСЕ). Загальні відомості. Історія та реалізація
| Сайт: | Навчально-інформаційний портал НУБіП України |
| Курс: | Основи автоматизованого проектування в будівництві ☑️ |
| Книга: | Тема 4. Метод скінченних елементів (МСЕ). Загальні відомості. Історія та реалізація |
| Надруковано: | Гість-користувач |
| Дата: | субота, 27 липня 2024, 21:19 |
1. Загальна відомості про метод скінченних елементів.
Вся історія будівельної механіки в докомп’ютерний період була пов’язана з розробкою прийомів, орієнтованих на чисельну реалізацію тієї або іншої розрахункової схеми. Методи моментних і кутових фокусних відношень, метод Кроса, метод перерозподілу початкових кутових деформацій, метод пружного центру та інші прийоми – ось невеликий перелік з величезного ряду прийомів, що існували у той час, і методів розрахунку конструкцій, які, по суті, зводилися до прагнення уникнути великої кількості обчислень. І коли фахівець складав розрахункову схему, він перш за все думав про можливість вирішення задачі в такій постановці. Положення докорінно змінилося з появою ЕОМ і методу скінченних елементів.
Метод скінченних елементів (МСЕ) – це чисельний метод вирішення задач прикладної фізики. Ключова ідея методу при аналізі поведінки конструкцій полягає в наступному: суцільне середовище (конструкція в цілому) моделюється шляхом розбиття її на об¬ласті (скінченні елементи), в кожній з яких поведінка середовища описується за допомогою окремого набору вибраних функцій, що представляють напруження і переміщення у вказаній області. Ці набори функцій часто задаються в такій формі, щоб задовольняти умовам неперервності описуваних ними характеристик у всьому середовищі. Приклад скінченно-елементної моделі вузла з’єднання елементів металоконструкцій та розподіл нормальних напружень в ньому при навантаженні, отримані за допомогою програмного комплексу ЛІРА- САПР, приведені на рис. 5.1.
Відеозаписи за темою розділу:
Рисунок 5.1 – Скінченно-елементна модель вузла з’єднання елементів металоконструкцій та розподіл нормальних напружень в ньому
Основні переваги МСЕ:
- легка алгоритмізація при використанні обчислювальної техніки;
- просте формування систем лінійних рівнянь;
- можливість розрахунку неоднорідних і складних конструкцій за різних умов навантаження;
- широкий спектр розв’язуваних завдань.
Недоліки МСЕ:
- значний об’єм розрахунків;
- відсутність аналітичного розв’язку (необхідність повного розрахунку схеми для оцінки локального НДС);
- необхідність оцінки точності результатів розрахунку.
2. Історія розвитку методу скінченних елементів
В період з 1850 по 1875 рр. завдяки зусиллям Максвелла, Кастільяно та Мора
були вироблені основні
концепції теорії аналізу
стержневих конструкцій. Ці концепції
є наріжним каменем
матричних методів будівельної механіки, які остаточно оформилися лише через 80 років і
у свою чергу стали основою методу скінченних
елементів.
Розвиток теорії і допоміжних дисциплін, що відносяться до методу скінченних елементів, був особливо слабким в період з 1875 по 1920 р. Це відбувалося в основному із-за наявності реальних труднощів при вирішенні рівнянь лінійної алгебри з великим числом невідомих.
Приблизно до 1920 р. завдяки зусиллям Мейні в США і Остенфельда в Нідерландах були сформульовані основні ідеї чисельного дослідження рамних і фермових конст¬рукцій, засновані на заданні переміщень як невідомих параметрів. Ці ідеї передували сучасним матричним методам дослідження конструкцій проте важливим стримуючим чинником при аналізі була роз¬мірність завдань, що визначалась числом невідомих параметрів переміщень або навантажень.
Ключові ідеї МСЕ в сучасному вигляді прослідковуються в роботах Олександра Хренікова (1941) та Річарда Куранта (1942). Проте, в зв’язку з великою розрахунковою складністю, практичні реалізації методу у формі завершених комп’ютерних програм були створені лише наприкінці 50-х в Штутгартському університеті (Аргеріс), університеті Берклі (Клаф) та університеті Суонсі (Зінкевич, Айронс).
В кінці 50-х – на початку 60-х років з розвитком обчислювальної техніки в будівельній механіці сталася революція, пов’язана з відмовою від багаточисельних вузько орієнтованих прийомів розрахунку. Сталося перенесення центру тяжіння у фундаментальні дослідження методів механіки твердого тіла і математичної фізики, а в інженерній практиці – на прийоми і методи побудови комп’ютерних моделей.
Першою процедурою, яка була реалізована на ЕОМ того періоду, було вирішення систем лінійних рівнянь. Ця процедура, з одного боку, лежить в основі практично всіх чисельних методів, з іншого боку, порівняно проста в реалізації, хоч і пов’язана з великою кількістю обчислень.
Потім було швидко усвідомлено, що можливість вирішення на ЕОМ систем лінійних рівнянь викликає інші проблеми. Складання великих систем і подальша обробка їх розв’язків – обчислення параметрів напружено-деформованого стану – виявилося також дуже трудомістким. Згодом ці процедури також були реалізовані в програмному забезпеченні. Реалізація інших етапів розрахунку (розрахункові сполучення зусиль, розрахункові сполучення навантажень, підсистеми конструювання та ін.) і їх інтеграція усередині програмних комплексів продовжується і в даний час.
3. Реалізація методу скінченних елементів в сучасних програмних комплексах.
Поява ЕОМ зумовила інтенсивну розробку чисельних методів, які, так або інакше, ґрунтувалися на трьох основних методах:
1. Метод сил – основний метод докомп’ютерної епохи, який охоплював можливості різних хитрувань з метою скорочення кількості обчислень (багаточисельні варіанти розрахункових схем, метод пружного центру та ін.). Незабаром з’ясувалося, що метод сил є неперспективним зважаючи на труднощі алгоритмізації побудови розрахункових схем, і надалі від нього довелося відмовитися.
2. Варіаційно-різницеві методи – розроблялися для вирішення задач розрахунку пластин і оболонок, ґрунтувалися на методах дискретизації функціоналу потенційної енергії (методи Рітца і Гальоркіна).
3. Метод переміщень – лежить в основі більшості сучасних програмних комплексів скінченно-елементного моделювання, його особливостями є дискретизація пластинчатих систем на основі стержневих апроксимацій та ітераційний (кроковий) метод для вирішення нелінійних задач.
Починаючи з середини п’ятдесятих років МСЕ в своєму розвитку пройшов через ряд безперервних модифікацій. Були сформульовані спеціальні елементи для плоского напруженого стану, введені скінченно-елементні співвідношення для деформівного твердого тіла, пластин, що згинаються, тонких оболонок та інших конструктивних форм. Як тільки були отримані співвідношення для дослідження статичної поведінки лінійно пружного матеріалу, увага фахівців переключилася на такі аспекти, як динамічна поведінка, геометрична і фізична нелінійності. Услід за цими дослідженнями настав період досить інтенсивного розвитку обчислювальних програм загального призначення, обумовлений бажанням забезпечити практиків можливістю застосовувати вказаний метод.
На сучасному етапі можна виділити три основних напрями розвитку чисельних методів розрахунку конструкцій:
1) пошуки альтернативних МСЕ чисельних методів;
2) вдосконалення МСЕ;
3) вдосконалення програмних комплексів, що реалізують МСЕ.
В 70-80-і роки розроблялися методи, альтернативні МСЕ в переміщеннях. В основному це методи, засновані на варіаційних формулюваннях, відмінних від функціонала в переміщеннях:
1) метод напружень, в якому використовується функціонал додаткової енергії Кастільяно;
2) змішані та гібридні методи;
3) метод граничних інтегральних рівнянь – дозволяє виразити значення переміщень усередині області через значення на границі, проте непридатний для неоднорідних областей і складної геометрії області.
У зв’язку з тим, що дійсної альтернативи МСЕ в переміщеннях знайти не вдалося, в даний час спостерігається спад в подібних наукових розробках.
Вдосконалення МСЕ в основному було пов’язане з розробкою уточнених типів скінченних елементів (СЕ) з тим, щоб понизити розмірність розв’язуваних рівнянь, а також у застосуванні МСЕ до вирішень задач динаміки, стійкості, фізичної і геометричної нелінійності. Основні напрями розвитку МСЕ – побудова уточнених СЕ за рахунок збільшення кількості вузлових невідомих і степеню апроксимуючих поліномів, дослідження впливу одночасного згущування сітки СЕ і збільшення степеню поліномів на результати моделювання та розробка методів підвищення точності обчислення напружень.