Тема 8. Бібліотека скінченних елементів ПК "ЛІРА САПР"

1. Можливості бібліотеки скінченних елементів.

Величезний     вплив    на    можливості  моделювання будівельних обєктів і реалізацію їх розрахункових схем дає бібліотека скінченних елементів (БСЕ) використовуваного програмного комплексу.

 Основна вимога до бібліотеки скінченних елементів – це її відкритість, тобто можливість поповнювати її новими процедурами. По суті, саме БСЕ надає програмним комплексам, що реалізовують метод скінченних елементів (МСЕ), властивість універсальності і гнучкості, оскільки, поповнивши БСЕ новими СЕ, можна розширити клас вирішуваних завдань, практично залишаючи без змін основну структуру комплексу.

Також необхідною вимогою до БСЕ є її прозорість, тобто для кожного типу СЕ мають бути описані базисні функції, типи вузлових невідомих і приведені величини порядку збіжності. Це може виявитися дуже корисним при складанні складних комбінованих скінченно-елементних моделей і оцінці отриманого наближеного розв’язку.

Основою програмних пакетів, що реалізують метод скінченних елементів (МСЕ), є бібліотека скінченних елементів (БСЕ).

Кожен тип скінченних елементів характеризується наступними властивостями:

•   розмірність використовуваного простору (одновимірна, двовимірна, тривимірна);

•   геометрична фігура, яка часто є однією з простих геометричних фігур (відрізок лінії, трикутник, прямокутник, чотирикутник, тетраедр тощо);

•   сукупність вузлів, розташованих (зазвичай) на лініях (поверхнях) перетину елементів і є загальними для елементів, що межують один з одним;

•    набір зовнішніх і внутрішніх ступенів свободи, найчастіше пов’язаних з вузлами (хоча і

не обов’язково з вузлами) - переміщеннями, кутами повороту тощо;

•   система апроксимаційних функцій, що визначають у межах СЕ наближені вирази для компонентів переміщень та їх зв'язок із ступенями свободи СЕ;

•   фізичний закон, що моделює зв’язок напружень та деформацій;

•   визначення енергетичного простору, для моделювання якого призначені елементи СЕ. Наприклад, пластина СЕ плоского напруженого стану, пластина СЕ на пружній основі, стержні СЕ для просторових задач тощо);

•   перелік обмежень та рекомендацій щодо використання.

Класифікація скінченних елементів

1.       Скінченні елементи, що моделюють лінійно-деформовані системи.

1.1.   Стержньові одновимірні скінченні елементи (СЕ1-СЕ4, СЕ7, СЕ10);

1.2.   Пластинчасті двовимірні скінченні елементи (товсті та тонкі пластини);

1.3.   Масивні тіла.

2.   Скінченні елементи, що моделюють нелінійно-деформовані системи.

2.1.         Стержньові    одновимірні   скінченні         елементи        (СE201-СЕ204,         СЕ207, СЕ210, тощо);

2.2.   Пластинчасті двовимірні скінченні елементи (товсті та тонкі пластини);

3.   Спеціальні скінченні елементи

-    елементи, що імітують податливий зв’язок між вузлами;

-    односторонні опори;

-    елементи, що імітують попереднє напруження (фаркоп);

-    елемент, що імітує тверде тіло тощо.

2. Універсальний стержень

Це   широкий набір одновимірних  скінченних елементів, що наступними властивостями:

• довільний переріз, постійний або змінний по довжині стержня;
• довільне місцеве навантаження;
• примикання до вузлів за допомогою абсолютно жорстких вставок або шарнірів;
• можливість врахування зсуву;
•  можливість моделювання різних класів задач.

Стержньові CE, що використовуються для моделювання лінійно-деформованих систем, знаходяться в першій сотні бібліотеки скінченних елементів “ЛІРА САПР” (наприклад, СЕ1, СЕ2 або СЕ10), тоді як стержень СЕ для вирішення фізично-нелінійних задач починає свою нумерацію із другої сотні (СЕ201, СЕ202 або СЕ210).

Стержень СЕ для геометрично-нелінійних задач - із третьої (СE 308, СE 309, СE310) і стержень СE для розрахунку задач з фізичною та геометричною нелінійністю - з четвертої (СE410).

Універсальний стержень СЕ призначений для моделювання плоских і просторових стержневих конструкцій. Універсальний стрижень показаний на рис. 8.1. Стержень має локальну праву декартову систему координат Xl, Yl, Z1, відносно якої встановлюється локальне навантаження та визначаються внутрішні зусилля.

Існують різні варіанти кріплення стержня до вузлів розрахункової схеми:

• за допомогою абсолютно жорстких вставок уздовж місцевих осей;
• зняттям опори в будь-якому напрямку (зняття опори, що відповідає лінійному ступеню свободи, забезпечує ковзання; зняття кутової опори - вільний поворот, циліндричний шарнір).

Рис. 8.1 Внутрішні силові фактори, що виникають у просторовому стержньовому елементі (СЕ10, 210, 310, тощо)

де Mk – крутний момент відносно вісі X1;

Mz, My – згинальні моменти відносно вісей Z1 та Y1, відповідно;

Qz, Qy – поперечні сили відносно вісей Z1 та Y1, відповідно;

N – поздовжня сила.

Види навантажень, що можуть  бути задані на стержньові елементи, приведені в табл. 8.1

3. Універсальні скінченні елементи плоскої задачі

Пластинчасті двовимірні СЕ (трикутні, прямокутні, чотирикутні) залежно від класу задач, що вирішуються за допомогою них, поділяються на:

-    балки-стінки (мембранна група зусиль і деформацій) - СЕ 21,22 / СЕ 221, 222 та ін.;

-    згинальні пластини, в тому числі на пружній основі (згинальна група сил і деформацій) - СЕ 11,12,15,16 та ін.;

-    оболонки (мембранні та згинальні групи зусиль та деформацій) - СЕ 41,42,44 / СЕ 241,242,244 / СE 4411,442,444 та ін.

а)б)в)

Рис. 8.2 Внутрішні силові фактори, що діють у перерізах пластинчастого скінченного елемента:

а) – у балках-стінках; б) – у згинальних плитах; в) – в оболонках;

де Nx, Nz – нормальні напруження уздовж вісей X1, Z1; 𝜏xz – зсувні напруження;

Mxy – крутний момент; Mx, My – згинальні моменти, що діють у площинах, ортогональних до вісей X1 та Y1 відповідно;

Qx, Qy – поперечні сили уздовж вісі Z1 у перерізах, ортогональних до вісей X1 та Y1, відповідно.

Дані скінченні елементи володіють наступними властивостями:

• можливість врахування анізотропних, ортотропних та ізотропних властивостей матеріалу;
• можливість моделювання багатошарових конструкцій;
• можливість   моделювання   різних    класів     конструкцій: балки-стінки,   плити,    що працюють на згин, у тому числі і на пружній основі, оболонки;
• довільне місцеве навантаження на всій або на частині області СЕ.

Призначення

Універсальні   скінченні   елементи   плоскої   задачі   призначені   для   розв’язку плоскої задачі теорії пружності, а також розрахунку тонких жорстких пластин і тонких пологих оболонок на міцність. Матеріал однорідний по товщині елемента, лінійно-пружний, ізотропний.

Види

Тонкими вважаються пластини, в яких виконується умова (8.1)

Жорсткими вважаються пластини, прогин яких не перевищує δ/5.

де R – мінімальний радіус кривизни серединної поверхні.

Оболонки вважаються пологими, , якщо для них виконується умова (8.3):

де f₀ – мінімальний радіус кривизни серединної поверхні. 

Передбачені види навантажень приведені в табл. 8.2

4. Універсальні скінченні елементи просторової задачі

Універсальні СЕ просторової задачі призначені для визначення напружено-деформованого стану масивних просторових конструкцій з однорідного ізотропного лінійно-пружного матеріалу в постановці тримірної задачі теорії пружності.

Крім того, можливий розв’язок об’ємної задачі теорії пружності для двокомпонентних матеріалів (залізобетону, композитів і т.п.), при якому один з компонентів (армуючий) має вищі характеристики міцності, ніж основний.

5. Спеціальні скінченні елементи

Спеціальні СЕ природно вписуються в процедуру моделювання за методом скінченних елементів і значно розширюють інструменти для створення моделей скінченних елементів.

Спеціальні скінченні елементи призначені для обмеження лінійних  і кутових переміщень за напрямками осей координат, для введення в’язей скінченної жорсткості за напрямками осей  координат, а також  для врахування  податливості матеріалу    між суміжними вузлами  (наприклад, податливість ростверка або металевих прокладок між елементами).

Види спеціальних скінченних елементів

СЕ, що моделює в’язі скінченної жорсткості (СЕ 51).

Такий  СЕ застосовується для  введення в’язі скінченної жорсткості за напрямком однієї з осей глобальної  або локальної  системи   координат вузла.   Так, наприклад, для ступенів вільності    X,    Y,    Z   скінченний елемент дозволяє змоделювати роботу пружини або пружної основи.

Рис.8. 4 Спеціальний СЕ для моделювання: