Лекція 7. Організація наукових обчислень за допомогою пакета NumPy

1. Встановлення пакету NumPy

NumPy (Numerical Python) — це бібліотека для високопродуктивних операцій з багатовимірними масивами та матрицями, яка також містить велику колекцію математичних функцій.

Команда для встановлення:

pip install numpy

Використання:

import numpy as np

Набір високошвидкісних рутин (функцій) для обробки масивів, включаючи:

• математичні операції

• логічні операції

• зміни форми (shape manipulation)

• сортування та фільтрацію

• введення/виведення даних

• дискретні перетворення Фур'є (DFT)

• базову лінійну алгебру

• статистичні обчислення

• генерацію випадкових чисел та симуляції

Приклад використання:

import numpy as np

a = np.array([[1, 2], [3, 4]])
print(a.shape)  # (2, 2)
print(a.dtype)  # int64 (залежить від платформи)

2. Методи та функції пакету NumPy. Створення масивів. Операції над масивами.

Створення масивів

Функція	Опис	Приклад
np.array()	Створює масив з Python-списку	np.array([1, 2, 3])
np.zeros(shape)	Масив із нулями	np.zeros((2, 3))
np.ones(shape)	Масив з одиницями	np.ones((3, 3))
np.empty(shape)	Порожній масив (випадкові значення)	np.empty((2, 2))
np.arange(start, stop, step)	Масив із кроком	np.arange(0, 10, 2)
np.linspace(start, stop, num)	Масив із рівними інтервалами	np.linspace(0, 1, 5)
np.eye	Одинична матриця (матриця Е)	np.eye(3)
np.full(shape, value)	Масив із заданим значенням	np.full((2, 2), 7)

 

Математичні функції

3. Створення матриць та числових діапазонів.

У NumPy "матриця" — це, зазвичай, двовимірний масив (ndarray). Також існує клас np.matrix, але його використання не рекомендоване у нових проєктах — краще працювати з ndarray.

import numpy as np

# Двовимірний масив (матриця)
A = np.array([[1, 2], [3, 4]])

# Одинична матриця
I = np.eye(3)

# Матриця з нулями
Z = np.zeros((2, 3))

# Матриця з одиницями
O = np.ones((3, 2))

# Матриця з випадковими числами
R = np.random.rand(2, 2)

Створення числових діапазонів

Числовий діапазон цілих чисел.

np.arange(start, stop, step, dtype=None)

Відкрита верхня межа (stop не входить), як у range()

Числовий діапазон нецілих чисел.
np.linspace(start, stop, num=50, endpoint=True, retstep=False, dtype=None)

Приклад:

x, h = np.linspace(0, 1, 5, retstep=True)

# x → [0.   , 0.25, 0.5 , 0.75, 1.  ]
# h → 0.25

np.logspace() — логарифмічний (експоненціальний) крок

np.geomspace() — геометрична прогресія

4. Дії з матрицями.

У NumPy матрицею вважається двовимірний масив типу ndarray. Наприклад:

import numpy as np

A = np.array([[1, 2], [3, 4]])

Таблиця з операціями нам матрицями:

№	Операція	Опис	NumPy-функція / Приклад
1	Транспонування	Заміна рядків на стовпці	A.T
2	Поелементне додавання	Сума відповідних елементів	A + B
3	Поелементне віднімання	Різниця відповідних елементів	A - B
4	Поелементне множення	Добуток відповідних елементів	A * B
5	Поелементне ділення	Частка відповідних елементів	A / B
6	Матричне множення	Алгебраїчне множення матриць	A @ B або np.dot(A, B)
7	Обернена матриця	$A^{-1}$A−1, така що$A\cdot A^{-1}=I$A⋅A−1=I	np.linalg.inv(A)
8	Визначник (детермінант)	Число, що показує виродженість	np.linalg.det(A)
9	Ранг матриці	Кількість лінійно незалежних рядків/стовпців	np.linalg.matrix_rank(A)
10	Трасування	Сума елементів головної діагоналі	np.trace(A)
11	Норма матриці	"Довжина" або розмірність матриці	np.linalg.norm(A)
12	Округлення	Округлення всіх елементів	np.round(A, 2)
13	Одинична матриця	Матриця з 1 по діагоналі	np.identity
14	Діагональна матриця	Створення з вектора	np.diag([1,2,3])
15	Верхня трикутна	Тільки елементи над діагоналлю	np.triu(A)
16	Нижня трикутна	Тільки елементи під діагоналлю	np.tril(A)