Лекція 4. Електричні кола однофазного синусоїдного струму

Припустимо, що миттєве значення струму у наведеній на рис. 4.18 вітці електричного кола визначається як: 

.

При цьому миттєві, амплітудні та ефективні значення напруги на окремих елементах кола дорівнюватимуть:

 

на активному опорі

;

на індуктивності

на ємності

.

Визначаємо напругу на всій ділянці кола

Напруга на ділянці електричного кола з послідовним з’єднанням активного опору, індуктивності та ємності містить дві складові:

• активну u_a,
• реактивну u_p.

 

Вказані складові напруги на ділянці електричного кола з послідовним з’єднанням R, L, C елементів пов’язані з напругою на окремих елементах як:

.

Розглянемо реактивну складову напруги детальніше, з урахуванням миттєвих значень напруги на індуктивності та ємності. При цьому матимемо:

.

З останнього співвідношення видно, що характер реактивної складової напруги визначається взаємною величиною амплітудних значень напруги на ємності та індуктивності. При цьому можна виділити три типи цих взаємних значень, а саме:

Звичайно, що характер співвідношень ефективних значень напруги U_L та U_C буде співпадати з наведеним характером співвідношень амплітудних значень відповідних напруг. Розглянемо перший з вказаних типів взаємних значень напруги на індуктивності та ємності, а саме:

.

З цією метою побудуємо відповідну векторну діаграму (див. рис. 4.19, де представлені співвідношення для ефективних значень).

Рис. 4.19. Векторна діаграма для напруги на елементах електричного кола з послідовним з’єднанням R, L, C елементів за умови 

 

При побудові наведеної векторної діаграми враховано, що:

• зсув фаз між струмом в колі та напругою на резисторі відсутній, тобто вектори струму та напруги u_R співпадають за напрямком (колінеарні);
• зсув фаз між напругою на резисторі та напругою на індуктивності додатний і дорівнює ;
• зсув фаз між напругою на резисторі та напругою на ємності відємний і дорівнює .

З побудованої векторної діаграми встановлюємо, що:

,

де прийнято

Величина Z зветься повним опором відповідної ділянки електричного кола, або якогось елемента (в даному випадку ділянки кола, що містить резистор, індуктивність та ємність). При цьому фазовий кут φ сумарної напруги U на кінцях з’єднання резистора, індуктивності та ємності, як видно з векторної діаграми, поданої на рис. 4.19, можна визначити зі співвідношень:

або

.

Умовно приймемо (і надалі будемо дотримуватися цього прийнятого положення), що:

• за умови  (струм відстає за фазою від напруги) кут зсуву фаз додатний,
• за умови  (струм випереджає напругу) зсув фаз від’ємний.

Ці умови відповідатимуть обертанню векторів, показаному на рис. 4.19, тобто проти годинникової стрілки.

Наведеному вище положенню відповідатиме цілком конкретний запис початкових фаз напруги та струму. Так, за умови прийняття як первісну категорію напругу у вигляді:

струм записуватиметься як:

.

При цьому позначення кута φ включає й відповідний знак цього кута.

 

Зазначимо, що від побудованої векторної діаграми зміною масштабу легко перейти до трикутника опорів (наприклад, зменшивши всі сторони відповідних векторів в I разів), як показано на рис. 4.20.

Рис. 4.20. Трикутник опорів вітки електричного кола з послідовним з’єднанням R, L, C елементів за умови 

 

З рис. 4.20 видно, що в трикутнику опорів повний опір Z є гіпотенузою, R - катетом, який прилягає до кута φ, а величина сумарного реактивного опору, яка в даному випадку визначається співвідношенням

є катетом, який протилежний до кута φ.

Векторні діаграми та трикутники опорів для співвідношення:

наведені на рис. 4.21 та рис. 4.22, відповідно.

Рис. 4.21. Векторна діаграма для напруги на елементах вітки електричного кола з послідовним з’єднанням R, L, C елементів за умови 

 

З рис. 4.21 видно, що в даному випадку зсув фаз між струмом і напругою дорівнюватиме нулю:

.

Отже, у вітці електричного кола з послідовним з’єднанням R, L, C елементів за умови:

початкові фази струму й напруги – однакові (струм і напруга – синфазні).

 

З рис. 4.22 видно, що за умови:

трикутник опорів вироджується у пряму лінію, яка співпадає з активним опором. Такий режим електричного кола зветься резонансним.

Рис. 4.22. Трикутник опорів вітки електричного кола з послідовним з’єднанням R, L, C елементів за умови 

 

Резонансний режим послідовного з’єднання індуктивності та ємності характеризується рівністю напруги на цих елементах та зветься резонансом напруги або послідовним резонансом. Легко бачити, що в режимі резонансу напруги струм у колі буде максимальним і визначатиметься виключно опором резистора та, звичайно, величиною прикладеною до даної ділянки кола напруги. Резонансне явище у вітці електричного кола з послідовним з’єднанням R, L, C елементів детально розглядатиметься в подальшому. Векторні діаграми та трикутники опорів вітки електричного кола з послідовним з’єднанням R, L, C елементів для співвідношення:

наведені на рис. 4.23 та рис. 4.24, відповідно.

Рис. 4.23. Векторна діаграма для напруги на елементах вітки електричного кола з послідовним з’єднанням R, L, C елементів за умови 

 

Рис. 4.24. Трикутник опорів вітки електричного кола з послідовним з’єднанням R, L, C елементів за умови 

 

З рис. 4.23 видно що, за умови  струм у вітці електричного кола з послідовним з’єднанням R, L, C елементів випереджає напругу на кут φ (нагадаємо, що при визначенні співвідношення фаз струму й напруги на векторній діаграмі нами прийняте обертання векторів проти годинникової стрілки).

З трикутнику опорів, поданому на рис. 4.24, видно, що сумарний реактивний опір електричного кола з послідовним з’єднанням R, L, C елементів за умови  матиме від’ємне значення. Миттєва потужність в електричному колі, утвореному послідовним з’єднанням резистора, індуктивності та ємності визначається як:

.

Припустимо, що струм визначається співвідношенням:

.

За таких умов миттєва потужність може бути подана як:

З наведеного співвідношення видно, що в електричному колі з послідовним з’єднанням резистора індуктивності та ємності відбувається перетворення електричної енергії на теплову енергію (що відповідає першому доданку), а також обмін енергії між генератором та магнітним (другий доданок) і електричним (третій доданок) полями. 

Відповідно до процесів, які відбуваються в електричному колі з послідовним з’єднанням резистора, індуктивності та ємності, можна виділити три види потужності, а саме:

• середню за період або активну потужність, яка пов’язана з наявністю резистора та визначається як

;

• реактивну потужність, яка пов’язана з наявністю індуктивності та ємності й визначається як

;

• повну потужність, яка пов’язана з наявністю всіх трьох елементів та визначається як

.

Зазначимо, що активна, реактивна та повна потужності пов’язані між собою як сторони прямокутного трикутника (так званого, трикутника потужностей), який легко побудувати, наприклад, на підставі векторної діаграми. На рис. 4.25 як приклад наведений трикутник потужностей для вітки електричного кола, що розглядається, у випадку .

Рис. 4.25. Трикутник потужностей для вітки електричного кола з послідовним з’єднанням R, L, C елементів за умови 

 

Як видно з рис. 4.25, між активною, реактивною та повною потужностями існують співвідношення:

.

На рис. 4.26 ілюструється характер змінення у часі миттєвих значень як повної потужності (р), так і її окремих складових , відповідно до змінення миттєвого значення струму, що протікає в електричному колі з послідовним з’єднанням R, L, C за умови .

Рис. 4.26. Миттєві значення повної потужності (р) та її окремих складових , по відношенню 

до миттєвого значення струму і, який протікає у вітці електричного кола з послідовним з’єднанням R, L, C елементів за умови 

 

Як видно повна потужність на окремих відрізках часу має від’ємне значення. Це обумовлено наявністю в електричному колі реактивних елементів та означає, що в ці періоди часу потужність повертається до джерела живлення.