Лекція 4. Електричні кола однофазного синусоїдного струму

Резонанс напруги спостерігається у вітці електричного кола, де послідовно з’єднанні індуктивність та ємність. Послідовно з вказаними елементами, звичайно, може бути включений і резистивний елемент (див. рис. 4.27), який визначає втрати на відповідній ділянці електричного кола.

Резонанс напруги часто називають послідовним резонансом, відповідно до виду з’єднання (виду ділянки електричного кола), в якому такий резонанс проявляється.

Умовою резонансу напруги у вітці електричного кола з послідовним з’єднанням R, L, C елементів в термінах напруги є однаковість напруги на індуктивному й ємнісному елементах, тобто умова

.

Рис. 4.27. Електричне коло до ілюстрації резонансу напруг

 

Неважко переконатися, що вказану умову резонансу напруги в термінах реактивного опору елементів можна подати як:

                                          (4.21)

Підставляючи у (4.21) вирази реактивних опорів індуктивності та ємності, отримуємо:

                                            (4.22)

Розв’язок рівняння (4.22), дозволяє встановити значення частоти:

,

при якій саме й відбувається явище резонансу, а саме:

                                        (4.23)

Частота w₀ зветься резонансною частотою.

Повний опір послідовного з’єднання резистора, індуктивності та ємності на резонансній частоті матиме активний характер і дорівнюватиме опору резистора, тобто:

                         (4.24)

Для електричного кола, де спостерігається резонанс напруги, вводять поняття характеристичного опору.

Характеристичний опір вітки електричного кола з послідовним з’єднанням R, L, C елементів – це величина, яка дорівнює реактивному опору індуктивності або ємності на резонансній частоті.

Характеристичний опір, за своєю суттю, характеризує співвідношення між індуктивністю та ємністю відповідного електричного кола. Дійсно, в точці резонансу матимемо:

                               (4.25)

Струм в електричному колі на частоті резонансу сягає максимального значення, яке дорівнює:

                                  (4.26)

Напруги на індуктивності та ємності на частоті резонансу однакові за амплітудою, але зсунуті за фазою на p рад. Діюче (а отже й амплітудне) значення напруги на реактивних елементах на частоті резонансу дорівнюватиме:

                     (4.27)

З (4.27) видно, що при r > R напруга на кожному з реактивних елементів в точці резонансу може суттєво перевищувати напругу джерела живлення, за рахунок відповідного перетворення енергії цього джерела на енергію, що накопичується реактивними елементами та «перетікає» між індуктивністю та ємністю.

Здатність електричного кола, що розглядається, накопичувати енергію характеризується категорією добротності, яку можна визначити як:

                                                (4.28)

Величина зворотна до добротності зветься затуханням кола:

                                          (4.29)

Для випадку резонансу напруги у вітці електричного кола, що розглядається, на рис. 4.28 наведено векторну, а на рис. 4.29 часову діаграми напруг та струму.

Рис. 4.28. Векторна діаграма розподілення напруги та струму у вітці електричного кола з послідовним з’єднанням R, L, C елементів на частоті резонансу

 

Рис. 4.29. Часові діаграми напруг та струму у вітці електричного кола з послідовним з’єднанням R, L, C елементів на частоті резонансу

 

На рис. 4.30 наведена часова діаграма потужностей, що пов’язані з елементами вітки електричного кола з послідовним з’єднанням R, L, C елементів.

Рис. 4.30. Часова діаграма потужностей, що пов’язані з послідовним з’єднанням R, L, C елементів електричного кола на частоті резонансу

 

З рис. 4.30 видно, що в режимі резонансу напруги на індуктивності та ємності однакові за амплітудою й зсунуті за фазою на p рад. Саме це й приводить до їх взаємного нівелювання.

У вітці електричного кола з послідовним з’єднанням R, L, C елементів досягти умови резонансу можна за рахунок змінення частоти, індуктивності або ємності.

Залежності X_L, X_C від частоти називають частотними характеристиками електричного кола. На рис. 4.31 наведені частотні характеристики вітки електричного кола з послідовним з’єднанням R, L, C елементів.

Рис. 4.31. Частотні залежності реактивних опорів вітки електричного кола з послідовним з’єднанням R, L, C елементів

 

Видно, що на частоті резонансу опори індуктивності та ємності урівнюються, а загальний реактивний опір Х відповідної вітки електричного кола дорівнюватиме нулю. Частотні залежності струму І та напруги U_L, U_C в електричному колі, де можливе явище резонансу, називають резонансними характеристиками цього кола. На рис. 4.32 наведена частотна залежність струму у вітці електричного кола з послідовним з’єднанням R, L, C елементів в області резонансу (резонансна характеристика струму). Для зручності резонансні характеристики електричних кіл, де можливе явище резонансу, часто будують відносно нормованої частоти, яку визначають як:

                                           (4.30)

Рис. 4.32. Резонансна характеристика струму в області послідовного резонансу

 

Для отримання резонансної характеристики струму в електричному колі в залежності від введеної нормованої частоти здійснимо деякі алгебраїчні перетворення:

Величину

зазвичай називають узагальненою частотою.

Зважаючи на те, що при резонансі струм в електричному колі сягає максимального значення й дорівнює:

,

резонансну характеристику кола доречно нормувати по відношенню до цього значення. Отже остаточно матимемо:

                            (4.31)

Зі співвідношення (4.31) видно, що резонансна характеристика електричного кола, побудована в нормованих координатах, визначається добротністю цього кола. На рис. 4.33, як приклад, наведені резонансні характеристики при різній добротності електричного кола.

Рис. 4.33. Резонансні характеристики струму в області послідовного резонансу при різних значеннях добротності (стрілка Q вказує напрямок збільшення величини добротності)

 

З рис. 4.33 видно, що збільшення добротності веде до звужування резонансної характеристики. Для характеристики ступеня «вузькості» резонансних характеристик використовується поняття полоси пропускання.

Полоса пропускання – це ширина резонансної характеристики на рівні, де струм менше за максимальне значення в √2 разів. Тобто, для визначення полоси пропускання  необхідно знайти точки перетину резонансної характеристики:

з лінією

.

Виконавши відповідні перетворення, отримуємо:

.

Отже полоса пропускання резонансної характеристики є величиною зворотною до добротності електричного кола, що наочно видно з рис. 4.33.