Тема 6. Інтерполяція та апроксимація. Обробка числових даних в Excel

При вирішенні багатьох практичних задач необхідно вирішувати дві взаємно обернені задачі: 1) по аналітичному завданні функції одержати значення для конкретних її аргументів (скласти таблицю значень функції в деяких її точках) - задача табулювання функції; 2) по заданим табличним значенням одержати проміжне значення (по деяким аналітичним виразам визначити значення функції для заданого аргументу) - задача інтерполяції.

Нехай деяка функція y=f(x) задана таблично - для заданих значень аргументу x_i задані значення функції y_i=f(x_i), i=0,..n). Необхідно знайти аналітичний вираз деякої функції, яка б співпадала з даною функцією f(x_i), а саме в точках x_i приймала значення y_i, i=0..n. З геометричної точки зору задача інтерполяції зводиться до знаходження рівняння кривої y=P(x), яка проходить через задані точки (x_i, y_i), i=0 ..n.

Наближену заміну функції y=f(x) на відрізку [a, b] однією із функцій y=P(x), так щоб функція y=P(x) в точках x_i, i=0..n набувала тих самих значень, що й функція y=f(x), тобто P(x_i)=y_i i=0..n називають інтерполюванням (або інтерполяцією). Точки x_i, i=0..n називають вузлами інтерполяції, функцію y=P(x) - інтерполюючою функцією, а формулу f(x)» P(x) - інтерполяційною формулою.

Інтерполяційний багаточлен будують у випадках:

• функцію задано таблично для деяких значень аргументу, а потрібно знайти її значення для аргументу, який відсутній у таблиці;
• функцію задано графічно, а потрібно знайти її наближений аналітичний вираз;
• функцію задано складним аналітичним виразом, який не зручний для інтегрування, диференціювання.

В залежності від виду функції y=P(x) методи інтерполяції поділяються на:

• параболічна (алгебраїчні поліноми) - лінійна, квадратична і т.д.
• трансцендентна (тригонометричні).

Як правило, під інтерполяцією розуміють наступні задачі:

• вибір найбільш задовільного способу побудови інтерполяційного багаточлена заданої функції для кожного конкретного випадку;
• оцінка похибки при заміщенні P_n(x)»f(x) для xÎ]a; b[;
• оптимальний вибір вузлів інтерполяції для одержання меншої похибки.

Задача екстраполяції - знаходження значення функції для аргументу який знаходитися за межами таблиці визначення функції.