Тема 6. Інтерполяція та апроксимація. Обробка числових даних в Excel

Інтерполяція алгебраїчними поліномами називається параболічною інтерполяцією. Постановка параболічної інтерполяції має такий вигляд:

• для заданих значень f(x_i)=y_i, i=0..n побудувати багаточлен y=P(x)=a_oxⁿ+a₁x^n-1+..+a_n, де n - степені і який задовольняє вимоги:
• в точках x_i, i=0..n значення багаточлена P_n(x_i) співпадають із значенням даної функції f(x_i), тобто P_n(x_i)=f(x_i)=y_i, i=0..n;
• в будь-якій іншій точці xÎ]x_o;x_n[ виконується наближено рівність P_n(x)»f(x).

Геометрична сутність параболічної інтерполяції є в тому, що графік однієї функції f(x) заміщується графіком багаточлена P степеня n, причому ці два графіки мають (n+1) загальну точку.

Для параболічної інтерполяції кількість вузлів інтерполяції формує порядок поліному на одиницю менший.

Лінійна інтерполяція

Вихідні дані:

• задані значення функції f(x) в двох точках: f(x_о)=y_о і f(x₁)=y₁;
• порядок шуканого інтерполюючого багаточлена n=1.

Суть методу. Графік лінійної функції P₁(x)=a_ox+a₁ повинен проходити через дві точки (x_о;y_о) і (x₁;y₁). Тому шукані коефіцієнти a_o і a₁ можна визначити із системи лінійних рівнянь:
 

Вирішення цієї системи відносно a_o і a₁ одержуємо:

Тоді інтерполяційний багаточлен можна записати у вигляді:

Таким чином функцію f(x) можна перезадати наближено поліномом виду P₁(x), який називається формулою лінійної інтерполяції. З геометричної точки зору, формули лінійної інтерполяції заміщають дугу кривої y=f(x) на інтервалі [x₀; x₁] відрізком прямої лінії y=P₁(x), який проходить через точки (x_о;y_о) і (x₁;y₁) виду:

звідки:

Лінійну інтерполяцію часто використовують при роботі з готовими таблицями при знаходженні значення функції для проміжних значень аргументів.

Квадратична інтерполяція

Вихідні дані:

• задані значення функції f(x) в трьох точках: f(x_о)=y_о; f(x₁)=y₁; і f(x₂)=y₂;
• порядок шуканого інтерполюючого багаточлена n=2.

Суть методу. Графік квадратичної функції P₂(x)=a_ox²+a₁x+a₂ повинен проходити через вMaple три (x_о;y_о),(x₁;y₁) і (x₂;y₂). Тому шукані коефіцієнти a_o, a₁ і a₂ можна визначити із системи лінійних рівнянь:

Після вирішення цієї системи одержуємо інтерполяційний багаточлен виду

Таким чином функцію f(x) можна перезадати наближено поліномом виду P₂(x), який називається формулою квадратичної інтерполяції. З геометричної точки зору, формули квадратичної інтерполяції заміщають дугу кривої y=f(x) на інтервалі [x₀;x₁;x₂] параболічною кривою y=P₂(x), яка проходить через точки (x_о;y_о);(x₁;y₁) і (x₂;y₂).