Тема 6. Інтерполяція та апроксимація. Обробка числових даних в Excel
Лекція 6
Побудова діаграм в Excel3. Інтерполяційна формула Лагранжа
Вихідні дані:
- значення невідомої функції f(x) в двох і більше точках: f(xо)=yо; f(x1)=y1; ...; f(xn)=yn;
- порядок інтерполюючого багаточлена (n-1).
Суть методу. В якості інтерполюючого багаточлена візьмемо поліном виду:
,
причому значення Pn(x) у вузлах інтерполяції повинні співпадати із значеннями даної функції f(x), тобто: Pn(x)=f(xi)=yi(i=0,1,2,...,n).
Ця умова дозволяє перейти до системи із (n+1) лінійних рівнянь. Так як вузли інтерполяції різні, то дана система лінійних рівнянь має тільки єдине рішення. А значить, і інтерполяційний багаточлен Pn(x) існує і буде єдиними. Одержимо цей багаточлен наступним шляхом. Спочатку розглянемо допоміжний багаточлен F(x), який у вузлу інтерполяції x0 приймає значення F0(x0)=1, а у всіх інших вузлах xi(i=1,2,...,n) значення цього полінома рівняється нулю: F0(x1)=F0(x2)=...=F0(xn)=0. Такий багаточлен буде мати вигляд:
.
Вузли інтерполяції x1, x2, ..., xn являються коренями багаточлена F0(x0), а в точці x=x0 чисельник рівняється знаменнику, а значить, F0(x0)=1. Аналогічний багаточлен побудуємо і для вузла x=x1, вид якого:
.
Такі ж багаточлени можна побудувати і для всіх інших вузлових точок інтерполяції. В загальному вигляді багаточлени Fi(x), (i=0,1,2,...,n) можна записати так:
.
Тоді шуканий інтерполяційний багаточлен буде мати вигляд:
.
Добуток Fi(x)yi (i=0,1,2,...,n) рівняється нулю у всіх вузлах інтерполяції, крім вузла xi, де вони рівняються yi. Причому, порядок багаточлена Pn(x) рівняється n, так як кожен член суми Fi(x)yi також є порядку n.
Багаточлен виду Pn(x) називається інтерполяційним багаточленом Лагранжа. В свою чергу, інтерполяційна формула Лагранжа для визначення значень функцій в проміжних точках xÎ]xо;xn[, x¹xi (i=0,1,...,n) має вигляд:
.
В частковому випадку, коли є два вузли інтерполяції, то ця формула представляє формулу лінійної інтерполяції, для трьох вузлів - формулу квадратичної інтерполяції.
Так як, багаточлен Pn(x) представляє собою параболічну криву n-го порядку, то така інтерполяція називається параболічною.
Похибка параболічній інтерполяції залежить від: 1) багаточлена; 2) похибок вузлів інтерполяції, а також 3) похибки обчислення.
Шрифти
Розмір шрифта
Колір тексту
Колір тла
Кернінг шрифтів
Видимість картинок
Інтервал між літерами
Висота рядка
Виділити посилання