Тема 7. Оптимізація

Оптимізація має місце в будь-якій області діяльності людини: в економічному плануванні, управлінні, виробничих процесах, проектуванні складних процесів тощо - там де йде пошук найкращого варіанта. Тільки математично можливо дати визначення оптимізації - коли замість слів «краще», «погано» є кількісні характеристики у вигляді функції.

Більшість задач оптимізації зводяться до знаходження найменшого чи найбільшого - екстремум значення деякої функції, яку називають цільовою функцією або ж критерієм якості.

Найбільш просто з математичної точки зору, коли цільова функція задана формулою, яка має похідну. При цьому при пошуку екстремум можна використати похідну функції.

Приклад 1. Знайти розміри консервної банки з найбільшим об’ємом V і найменшою довжиною L швів та площею.

                                           V=pr²h, S=2pr²+2prh, L=4pr+h.

Виразимо висоту банки через її радіус: h=V/pr2. Тоді одержимо: S=2pr2+(2V)/h, L=4pr+V/pr2, де ¥<r<¥. Таким чином, слід знайти r, при якому min S i L.

Для цього, знайдемо похідну цих функцій по :

                                                           S’(r)=.... =0

i

L’(r)=....=0.

При різних критеріях оптимізаціїї одержуємо різні відповіді.

Задачу одновимірної оптимізації можно сформулювати так: знайти серед елементів  із заданої множини X такий x’ÎX, що дає екстремум функції f(x’).

Щоб практичну задачу звести до математичної необхідно:

1. вибрати показник f(x), який оптимізується;
2. побудувати математичну модель залежності мінімізуємого показника від вихідних параметрів.

В практиці має місце три класи задач оптимізації:

• безумовної оптимізації (без обмежень) - на значення  не накладуться обмеження;
• умовної оптимізації (з обмеженнями) - значення  є в заданому інтервалі;
• оптимізації при неповних даних - значення  не визначені.