Тема 2. Метод скінченних елементів. Математичні основи методу скінченних елементів

Метод скінченних елементів (МСЕ) ґрунтується на уявному представленні суцільного тіла у вигляді сукупності окремих скінченних елементів, що взаємодіють між собою в скінченному числі точок, які називаються вузлами. Система розбивається на прості скінченні елементи, напружено-деформований стан (НДС) яких попередньо досліджується.

Так, стержневі системи можуть бути розбиті на елементи у вигляді прямолінійних чи криволінійних стержнів з різними умовами з’єднання у вузлах. При розрахунку пластин найчастіше використовуються трикутні або чотирикутні СЕ. Далі будемо розглядати МСЕ розроблений на базі методу переміщень стосовно розрахунку плоских стержневих систем.

Сукупність сполучених між собою і прикріплених до основи СЕ утворює розрахункову схему методу, яку ще називають скінченно-елементною моделлю. Елементи і вузли скінченно-елементної схеми нумеруються.

Зовнішнє навантаження вважається прикладеним тільки у вузлах скінченно-елементної схеми. В загальному випадку при наявності позавузлових навантажень (наприклад, рівномірно розподілених навантажень чи моментів) обов’язково виконується перехід до вузлових навантажень.

У випадку прикладання лише вузлових зовнішніх навантажень переміщення вузлів будь-якого елемента однозначно визначають його внутрішні зусилля і напруження. Зв’язок між переміщеннями вузлів елемента і його внутрішніми зусиллями задається за допомогою матриці жорсткості елементу. Для всіх елементів, з яких складається скінченно-елементна схема, мають бути побудовані матриці жорсткості елементів.

У програмних комплексах, що реалізовують алгоритм МСЕ, зберігаються готові матриці жорсткості для елементів різних типів.

Кількість переміщень вузлів елементу, які однозначно визначають положення цього елементу у просторі називають числом ступенів вільності елемента. Для стержневих елементів плоскої задачі воно визначається за формулою:

                    n(ст.в.)=2∙n_ш+3∙n_ж                         (3.1)

де n_ш - кількість шарнірних вузлів в елементі, а n_ж - кількість жорстких вузлів в елементі.

Дійсно, якщо вузол є шарніром, то його положення на площині можна охарактеризувати двома лінійними переміщеннями, наприклад у вертикальному і горизонтальному напрямах. У разі жорсткого вузла необхідно ще додатково до лінійних зміщень задати його поворот.

Аналогічно, для усієї скінченно-елементної схеми вводяться матриця жорсткості системи або глобальна матриця жорсткості, що встановлює зв’язок між переміщеннями вузлів системи і зусиллями в них, а також число ступенів вільності системи - кількість переміщень вузлів системи, які досить знати, щоб однозначно визначити стан усієї системи. Воно також визначається по формулі (3.1), в якій n_ш- число шарнірних вузлів, а n_ж - число жорстких вузлів в усій скінченно-елементній схемі.

Матриця жорсткості системи формується на основі матриць жорсткості всіх елементів схеми в єдиній системі осей координат, яка називається глобальною. При цьому матриці жорсткості окремих елементів формуються в локальних системах координат, що є відмінними від глобальної, і за допомогою спеціальної процедури приводяться до глобальної системи координат. Оскільки матриця жорсткості системи встановлює зв’язок між зусиллями, прикладеними до її вузлів і переміщеннями вузлів, то маючи побудовану матрицю жорсткості системи і знаючи зовнішнє вузлове навантаження, можна знайти переміщення усіх вузлів скінченно-елементної схеми. Для цього потрібно розв’язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь. Порядок цієї системи дорівнює числу її ступенів вільності.

Отже, розрахунок стержневої системи МСЕ у формі методу переміщень складається з наступних етапів:

1.  Створення скінченно-елементної схеми (розбиття системи на вузли і елементи, їх нумерація, вибір глобальної системи координат).

2.  Приведення заданого зовнішнього навантаження до вузлового.

3.  Формування матриць жорсткості усіх елементів системи в локальних системах координат і їх перетворення в глобальну систему координат.

4. Формування глобальної матриці жорсткості, складання та розв’язування системи рівнянь МСЕ.

5.  Визначення вузлових зусиль в елементах схеми з врахуванням приведеного позавузлового навантаження.

6.  Визначення внутрішніх зусиль в елементах схеми, побудова епюр N, Q, M та їх аналіз.

Далі детально розглянемо усі ці етапи.