Тема 2. Метод скінченних елементів. Математичні основи методу скінченних елементів
1. Загальні відомості про метод скінченних елементів.
Вся історія будівельної механіки в до комп’ютерний період була пов’язана з розробкою прийомів, орієнтованих на чисельну реалізацію тієї або іншої розрахункової схеми. Методи моментних і кутових фокусних відношень, метод Кроса, метод перерозподілу початкових кутових деформацій, метод пружного центру та інші прийоми - ось невеликий перелік з величезного ряду прийомів, що існували у той час, і методів розрахунку конструкцій, які, по суті, зводилися до прагнення уникнути великої кількості обчислень.
І коли фахівець складав розрахункову схему, він перш за все думав про можливість вирішення задачі в такій постановці. Положення докорінно змінилося з появою ЕОМ і методу скінченних елементів.
Метод скінченних елементів (МСЕ) - це чисельний метод вирішення задач прикладної фізики. Ключова ідея методу при аналізі поведінки конструкцій полягає в наступному: суцільне середовище (конструкція в цілому) моделюється шляхом розбиття її на області (скінченні елементи), в кожній з яких поведінка середовища описується за допомогою окремого набору вибраних функцій, що представляють напруження і переміщення у вказаній області. Ці набори функцій часто задаються в такій формі, щоб задовольняти умовам неперервності описуваних ними характеристик у всьому середовищі.
Приклад скінченно-елементної моделі вузла з’єднання елементів металоконструкцій та розподіл нормальних напружень в ньому при навантаженні, отримані за допомогою програмного комплексу ЛІРА- САПР, приведені на рис. 2.1.
Рис. 2.1 Скінченно-елементна модель вузла з’єднання елементів металоконструкцій та розподіл нормальних напружень в ньому
Основні переваги МСЕ:
• легка алгоритмізація при використанні обчислювальної техніки;
• просте формування систем лінійних рівнянь;
• можливість розрахунку неоднорідних і складних конструкцій за різних умов навантаження;
• широкий спектр розв’язуваних задач.
Недоліки МСЕ:
• значний об’єм розрахунків;
• відсутність аналітичного розв’язку (необхідність повного розрахунку схеми для оцінки локального НДС);
• необхідність оцінки точності результатів розрахунку.