Тема 2. Метод скінченних елементів. Математичні основи методу скінченних елементів

Матриця жорсткості СЕ в локальній системі координат [r]j’ встановлює зв’язок між одиничними переміщеннями і зусиллями у вузлових точках для горизонтально розташованого елементу.

Як вже відзначалося, основна система МСЕ є сукупністю окремих стержнів, які з’єднуються між собою жорстко або за допомогою шарніра.

Отже, усе різноманіття СЕ можна звести до трьох типів елементів:

а)  елемент з двох сторін обмежений жорсткими вузлами: такий елемент має шість ступенів вільності, тобто невідомими є шість можливих переміщень вузлових точок елементу

б)  елемент з одного боку обмежений жорстким вузлом, а з іншою шарнірним: такий елемент має п’ять ступенів вільності

в)  елемент з двох сторін обмежений шарнірними вузлами: такий елемент має чотири ступені вільності

Розглянемо формування матриць жорсткості для показаних вище трьох типів СЕ у локальній системі осей координат.

Для елементу з шістьма ступенями вільності (тип а) матриця жорсткості матиме вид     

(3.2)

де r'12- реактивне зусилля в зв’язку 1 від одиничного переміщення зв’язку 2 і так далі.

Чисельні значення реакцій визначатимемо використовуючи таблиці методу переміщень. Знак реакцій буде додатнім, якщо напрям реакцій співпадає з додатнім напрямом переміщень V_j.

1.  Формування матриці жорсткості для елементу з шістьма ступенями вільності (тип а)

Задамо послідовно одиничні переміщення зв’язкам V_1=l, V_2=1, …, V_6=1.

1) V_1=1:

У відповідності із законом Гука:

∆l=Nl/EF,  ∆l=V_1=1,  N=EF/l

2) V_2=1:

3) V_3=1:

Аналогічно задаємо V_4 = 1, V_5= 1, V_6 = 1.

Розставляючи реакції у відповідні стовпці, отримаємо матрицю жорсткості для елементу з шістьма ступенями вільності

(3.3)

Запишемо матриці жорсткості для двох інших типів елементів, формуючи їх аналогічно попередній.

2.  Матриця жорсткості для елементу з п’ятьма ступенями вільності (тип б) матиме вигляд

(3.4)

3.  Матриця жорсткості для елементу з чотирма ступенями вільності (тип в) запишеться

(3.5)