Тема 3. Мат. моделювання. Алгоритми. Системи комп'ютерної математики

Моделювання - заміщення об’єкта (оригіналу) його умовним образом (моделлю) і дослідження властивостей оригінала шляхом досліджування властивостей моделі. Розрізняють фізичні та математичні моделі.

Математична модель – сукупність математичних співвідношень, рівнянь, нерівностей, що описують основні закономірності досліджуваного об’єкту.

Математична модель базується на деякому спрощенні (ідеалізації) та є наближеним описом реальності. Аналіз математичної моделі дозволяє прогнозувати поведінку реального об’єкта. Математичні моделі широко використовуються в фізиці, біології тощо.

Модель ніколи не тотожна реальному процесу. Результати математичної моделі лише наближено характеризують процес. Критерієм адекватності (відповідності) математичної моделі і реального процесу є практика (натурний експеримент).

Формальна класифікація моделей ґрунтується на математичних засобах, що використовуються для розв’язання поставлених задач. Розрізняють моделі:

• Лінійні або нелінійні моделі;
• Зосереджені або розподілені системи;
• Детерміновані або стохастичні;
• Статичні або динамічні.

Приклад. Математична модель траєкторії тіла з початковою швидкістю v під кутом a до землі з умови, що дія повітря відсутня:

Якщо із першого рівняння виразити:

і підставити в друге рівняння, отримаємо:

При y=0, отримаємо відстань льоту тіла:

Після того, як математична модель створена, її необхідно дослідити на ПК.

Імітаційне моделювання (simulation) передбачає представлення моделі у вигляді алгоритму та комп’ютерної програми, яка дозволяє відтворити поведінку об’єкту. Імітаційні моделі розглядаються як експерименти, що проводяться на комп’ютерах, з математичними моделями, що імітують поведінку реальних об’єктів. При цьому імітуються елементарні явища, що складають процес, зі збереженням їх логічної структури та послідовності у часі, що дозволяє отримати відомості про стан системи у певний момент часу та оцінити характеристики системи. Імітаційні моделі дозволяють вирішувати більш складні задачі, ніж аналітичні.