Тема 3. Концептуальніо-наукові засади математичного моделювання бізнес=проєктів

Модель від лат. («modulus» — зразок, норма, міра.) — це об’єкт, що заміщує оригінал і відбиває його найважливіші риси й властивості для даного дослідження, даної мети дослідження за обраної системи гіпотез.

Математична модель — це абстракція реальної дійсності (світу), в якій відношення між реальними елементами, а саме ті, що цікавлять дослідника, замінені відношеннями між математичними категоріями. Ці відношення зазвичай подаються у формі рівнянь і/чи нерівностей, відношеннями формальної логіки між показниками (змінними), які характеризують функціонування реальної системи, що моделюється.

Сутність методології математичного моделювання полягає в заміні досліджуваного об’єкта його «образом» — математичною моделлю — і подальшим вивченням (дослідженням) моделі на підставі аналітичних методів та обчислювально-логічних алгоритмів, які реалізуються за допомогою комп’ютерних програм. Робота не із самим об’єктом (явищем, процесом), а з його моделлю дає можливість відносно швидко і безболісно досліджувати його основні (суттєві) властивості та поведінку за будь-яких імовірних ситуацій (це переваги теорії). Водночас обчислювальні (комп’ютерні, симулятивні, імітаційні) експерименти з моделями об’єктів дозволяють ретельно та досить глибоко вивчати об’єкт, що недоступно суто теоретичним підходам (це перевага експерименту).

Вже сама постановка питання щодо математичного моделювання будь-якого об’єкта породжує чіткий план дій, який умовно можна поділити на три етапи: модель — алгоритм — програма (рис. 3.1).

Рис.3.1. Узагальнена схема математичного моделювання

На першому етапі обирається (чи будується) «еквівалент» об’єкта, що відображає в математичній формі найважливіші (ключові) його властивості — закони, яким він підпорядковується, зв’язки, що притаманні складовим його частинам, тощо. Математична модель (чи її фрагменти) досліджуються теоретичними методами, що дає змогу отримати важливі (концептуального характеру) нові знання про об’єкт.

Другий етап — вибір (чи розроблення) алгоритму для реалізації моделі на комп’ютері. Модель подається у формі, зручній для застосування числових методів, визначається послідовність обчислювальних і логічних операцій, котрі необхідно здійснити, щоб отримати шукані величини із заданою точністю.

На третьому етапі створюються програми, що «переносять» модель і алгоритм на доступну комп’ютерну мову. Їх можна назвати «електронним» еквівалентом досліджуваного об’єкта, що є придатним для безпосереднього експериментування на комп’ютері.

Створивши тріаду: «модель — алгоритм — програма», дослідник (системний аналітик) отримує універсальний, гнучкий і відносно дешевий інструмент, який тестується в «пробних» обчислювальних експериментах. Після того як адекватність (достатній рівень відповідності, зважаючи на цілі та прийняту систему гіпотез) тріади щодо досліджуваного об’єкта засвідчена, з моделлю проводять різноманітні та детальні «досліди», які дають нову інформацію про необхідні якісні та кількісні властивості й характеристики об’єкта. Процес моделювання супроводжується поліпшенням та уточненням, за необхідності, всіх складових (ланок) тріади.

Основним інструментальним та ефективним методом дослідження систем є метод моделювання, тобто спосіб теоретичних і практичних дій, спрямованих на створення та використання моделей. Під моделлю можна розуміти образ реального об’єкта (процесу) в матеріальній чи ідеальній формі (тобто такий, який описано знаковими засобами певною мовою), що відображає суттєві властивості модельованого об’єкта (процесу) й заміщує його в ході дослідження й управління.

Метод моделювання ґрунтується на принципі аналогії, тобто можливостях вивчення реального об’єкта не безпосередньо, а шляхом дослідження подібного йому й більш доступного цьому дослідженню об’єкта — його моделі. У подальшому йтиметься лише про економіко-математичне моделювання, тобто про опис соціально-економічних систем знаковими математичними засобами.

Практичними завданнями економіко-математичного моделювання є: по-перше, аналіз економічних об’єктів і процесів; по-друге, економічне прогнозування, передбачення розвитку економічних процесів; по-третє, вироблення управлінських рішень на всіх рівнях господарської ієрархії управління. Однак, не в усіх випадках дані, отримані в результаті економіко-математичного моделювання, можуть використовуватися безпосередньо як готові управлінські рішення, вони можуть розглядатись як «консультуючі» засоби, прийняття управлінських рішень залишається за людиною. Отже, економіко-математичне моделювання є лише однією з важливих компонент у системах аналізу, планування й управління економічними системами, спрямоване на отримання нових знань про об’єкт дослідження.

Одним із важливих аспектів у економіко-математичному моделюванні, як і в інших концепціях моделювання, є поняття адекватності моделі, тобто відповідності моделі модельованому об’єктові чи процесові. Адекватність моделі — дещо умовне поняття, оскільки повної відповідності моделі реальному об’єктові не може бути. Йдеться про відповідність тим властивостям, які вважаються суттєвими для дослідника, відповідають меті дослідження та усталеній системі гіпотез. Зазначимо, що перевірка адекватності економіко-математичних моделей обтяжена складністю вимірювання економічних величин, але без такої перевірки застосування результатів моделювання в аналізі та управлінських рішеннях може не лише виявитися малокорисним, а й призвести до негативних наслідків.

Основні характеристики економіко-математичних моделей. Економіко-математичні моделі вирізняються серед інших математичних моделей тим, що об’єктом моделювання є економічні процеси, а сама модель відображає економічні взаємозв’язки та відносини, що існують у реальній дійсності (в реальних процесах та явищах). Здійснюючи ідентифікацію та інтерпретацію економіко-математичних моделей, використовують економічні показники.

Кожна економіко-математична модель реального явища характеризується:

а) об’єктом моделювання;

б) системним описом об’єкта;

в) цілями щодо побудови моделі;

г) принципами моделювання;

д) апаратом моделювання;

є) способами ідентифікації й інтерпретації результатів.

Об’єктом моделювання може бути або реальна господарська система, або один чи кілька процесів, що розвиваються в такій системі. Для побудови моделі треба не просто вказати найменування об’єкта, а й дати його опис у вигляді системи, тобто виявити суттєві грані його взаємодії із зовнішнім середовищем, його структуру. Моделі, що відображають (заміщують) один і той самий об’єкт з різних поглядів, слід вважати різними.

Нагадаймо також, що поняття адекватності моделі має кілька різних граней. По-перше, можна вести мову про адекватність моделі щодо досліджуваного реального процесу, розуміючи під цим ступінь відповідності його характеристик характеристикам об’єкта. По-друге, потрібно оцінювати адекватність моделі щодо поставленої задачі (цілей).

Апарат моделювання визначається типом математичних конструкцій, що використовуються для побудови моделі. Найпоширенішими є моделі, побудовані за допомогою апарату лінійної алгебри, регресійного аналізу, лінійних диференційних рівнянь. Інколи кажуть про специфічний апарат — «апарат виробничої функції». Вибір того чи іншого апарату економіко-математичного моделювання значною мірою ґрунтується на гіпотезах, що покладені в основу побудови моделі.

Як зауважувалось вище, соціально-економічні системи належать, як правило, до так званих складних систем, яким притаманна низка властивостей, що треба враховувати в їх моделюванні, інакше неможливо твердити про адекватність побудованої моделі. Серед цих властивостей зазначимо, зокрема, такі: емерджентність як прояв у найяскравішій формі властивості цілісності системи, тобто наявність у економічної системи таких властивостей, які не є притаманними жодному з її елементів, котрий розглядається окремо, поза системою. Емерджентність — це результат виникнення між елементами системи так званих синергетичних зв’язків, які забезпечують збільшення загального ефекту до більших обсягів, ніж сума ефектів окремо взятих елементів системи, що діють (функціонують) незалежно. Тому соціально-економічні системи потрібно досліджувати й моделювати зважаючи на синергізм; динамічність економічних процесів, що полягає в зміні у часі параметрів і структури економічних систем під впливом як внутрішніх, так і зовнішніх чинників (навколишнього середовища); невизначеність щодо розвитку економічних явищ (процесів).

Економічні явища та процеси мають нелінійний, випадковий характер. Невизначеність іманентно притаманна економічним системам, тому для вивчення їх потрібно застосовувати економіко-математичні моделі на базі теорії ймовірностей і математичної статистики, а також на базі теорії нечітких (розпливчастих) множин тощо. Важливою також є розбудова ризикології (науки про економічний ризик) тощо; неможливість ізолювати процеси, котрі здійснюються в економічних системах незалежно від процесів у навколишньому середовищі, з тим щоб спостерігати та досліджувати їх окремо; активна реакція на нові чинники, що з’являються.

В економіці неможливо використовувати моделі подібності, неможливо побудувати точну копію економічної системи в масштабі і на ній моделювати різні варіанти економічної політики. В економіці можливості локальних економічних експериментів гранично обмежені, оскільки всі її складові тісно взаємопов’язані, а отже, «чистий» експеримент є практично неможливим. Залишається спиратися на власний досвід, досвід інших країн, безпосередні експерименти зі всією економікою та на математичне моделювання, але з обов’язковою адаптацією до конкретних умов. Разом з тим неможливо безпосередньо передбачити середньо- та довготермінові наслідки окремих рішень, це можна зробити лише на підставі концептуальних моделей розвитку економіки, що спираються на минулий досвід. У свою чергу концептуальні моделі, власне, і становлять фундамент математичних моделей.

Економіка як складна система є підсистемою суспільства, але у свою чергу вона складається з виробничої і невиробничої сфер (господарських одиниць), які взаємодіють між собою. Сутність взаємодії між суспільством та економічною системою визначає двоїсту роль людини у суспільному виробництві — як агента виробничого процесу, тобто як об’єкта і як суб’єкта, заради котрого цей процес, власне, і здійснюється. Кожна особа виконує подвійну роль: з одного боку, як споживач, а з другого — як виробник. Окрім робочої сили (носія знань та вмінь) матеріальними ресурсами є природні ресурси (зокрема земля, енергія сонця) та засоби виробництва.

Створення теорії аналізу й управління економікою передбачає: виявлення об’єктивних закономірностей взаємодії (взаємозв’язків) економічної системи із суспільством і біологічним середовищем та внутрішньої організації системи; формалізацію опису цих взаємозв’язків у категоріях цілеспрямованої раціональної поведінки тощо.

Засоби виробництва поділяються на засоби праці, котрі беруть участь у кількох виробничих циклах, аж до заміни їх унаслідок морального старіння чи фізичного зношення, та предмети праці, які задіяні в одному виробничому циклі. Особливе (двоїсте) місце серед засобів виробництва займає земля. Накопичені засоби виробництва (виробничі засоби) складаються з основних виробничих і обігових засобів. Основні виробничі засоби (ОВЗ) протягом тривалого часу обслуговують процес виробництва, зберігаючи свою натуральну форму й зношуючись частково, беруть участь в утворенні вартості виробленого в поточному році продукту. Просте відтворення (відновлення) основних виробничих засобів здійснюється за рахунок амортизаційних відрахувань, розширене — за рахунок капітальних вкладень та, частково, амортизаційного засобу.

Оборотні засоби — предмети праці. Вони деталізуються як виробничі запаси та предмети праці, котрі, зокрема, входять до незавершеної продукції. У результаті функціонування економіки протягом року всі галузі матеріального виробництва створюють валовий внутрішній продукт (ВВП). У натурально-речовій формі ВВП поділяється на засоби праці та предмети споживання, а у вартісній — на фонд заміщення основних засобів (амортизаційний фонд) і новостворену вартість (національний дохід). У процесі створення ВВП виробнича підсистема економіки виробляє та споживає проміжний продукт. За матеріально-речовим складом проміжний продукт — предмети праці — використовується в поточному виробничому споживанні, а його вартість переходить у вартість засобів праці чи предметів споживання, що входять до ВВП.

Рис. 3.2. Потоки продуктів і ресурсів в економіці

На рис. 3.2 наведена схема процесів виробництва, розподілу, накопичення та споживання. Проміжна продукція — це паливо, енергія, сировина, матеріали, комплектувальні вироби тощо. Зазначимо, що не існує абсолютно чіткої межі між проміжним продуктом і предметом споживання. Наприклад, цемент, проданий населенню, належить до предметів споживання, а цемент, закуплений будівельним підприємством, — до проміжної продукції.

У сучасному суспільстві роль специфічного товару — загального товарного еквівалента — виконують гроші. Фінансово-кредитні установи (державні та комерційні банки, їхні філії, страхові компанії, різноманітні засоби тощо) спільно з фінансово-бухгалтерськими службами господарських комірок утворюють фінансово-кредитну підсистему економічної системи. Нематеріальним ресурсом поряд з фінансовим виступає соціально-інтелектуальний потенціал суспільства. Основу економічної системи становлять виробничі комірки. Це заводи, фабрики, шахти, родовища, електростанції, сільськогосподарські та інші виробничі підприємства й фірми, наділені господарською самостійністю.

З організаційно-господарського погляду виробнича комірка — це самостійна господарська одиниця, котра наділена правом юридичної особи, функціонує за рахунок власних коштів (засобів), відносно самостійно розпоряджається своїми ресурсами (засобами виробництва, робочою силою та фінансовими засобами) і виробленою продукцією. Як самокерована система виробнича комірка складається з керованого об’єкта (робоча сила та виробничий апарат) та керуючої системи (дирекція, функціональні служби, наглядова рада тощо). Коли окремі виробники в межах суспільства почали виготовляти різні предмети споживання та обмінюватися ними між собою, виник ринок. Отже, ринок — наслідок, результат поділу праці.

У сучасному світі не існує жодної країни, в якій держава не регулювала б (м’яко чи жорстко, прямо чи опосереднено) діяльність господарських комірок. М’яке, опосереднене регулювання за допомогою ринкових важелів свідчить про високий ступінь розвитку ринкової економіки в даній країні. Виробничі комірки і виробничо-технологічні зв’язки між ними утворюють виробничо-технологічну структуру економічної системи. Ненадійність у виробничо-технологічній взаємодії виробничих комірок, конкуренція на ринках товарів, грошей та робочої сили — об’єктивна основа для утворення об’єднань господарських одиниць (асоціацій, концернів, корпорацій тощо). Утворення об’єднань потребує, у свою чергу, регулюючої функції держави, яка в інтересах споживачів повинна не допускати надмірного монополізму на ринках товарів і послуг, а також на ринках робочої сили та грошей.

 Організаційно-господарська структура економічної системи — це сукупність господарських одиниць та організаційно-господарських зв’язків між ними. Якщо виробничо-технологічні зв’язки є горизонтальними, то організаційно-господарські — вертикальними. Її (цю структуру) можна уявити як багатоповерхову надбудову над виробничо-технологічною структурою.

Перший поверх — орган управління господарських одиниць і прямі вертикальні зв’язки кожного органу управління зі своєю керованою одиницею.

Другий поверх — орган управління об’єднань і вертикальні зв’язки з органами управління відповідних бізнесових одиниць.

Третій поверх — центральні органи управління економічною системою та вертикальні їх зв’язки з органами управління першого та другого поверхів.

Використовуючи системний підхід щодо дослідження економіки на підставі математичних моделей, виокремлюють, зокрема, макро- та мікроекономічні моделі. Перші відображають функціонування та розвиток усієї економічної системи чи її великих підсистем, другі — господарських одиниць і одиниці є неподільними, але коли досліджуються мікромоделі, то бізнесова одиниця, у свою чергу, може розглядатись як складна система. До великих підсистем можна віднести: перший і другий підрозділи національної економіки, галузі національної економіки, міжгалузеві комплекси.

Під першим підрозділом мають на увазі сукупність господарських одиниць, що виробляють засоби виробництва, під другим — предмети споживання. Нерідко перший підрозділ деталізують на два сектори: нульовий, де виробляються паливо, енергія, сировина, матеріали (тобто предмети праці), та перший, у якому виробляються засоби праці. Часто під сектором розуміють виробничу підсистему економіки, що виробляє один агрегований продукт. У галузь виокремлюють виробничі одиниці, що є відносно однорідними за використовуваною сировиною, технологією, вироблюваною продукцією, професійним складом виробничого персоналу. Стосовно до моделювання, то тут під галуззю розуміють «чисту» галузь, що виробляє лише один продукт. Наприклад, галузь сільського господарства — виробництво збіжжя як одного продукту, хоча, як зрозуміло, збіжжя є узагальненим поняттям — це зерно і пшениці, і жита, і рису, ячменю, вівса, кукурудзи, проса, гречки, маку тощо. Галузь електроенергетики виробляє один продукт — електроенергію, хоча можна розрізнити: гідро-, тепло-, атомну тощо. Окрім звичайних галузей, розглядаються також великі галузі національної економіки: промисловість, будівництво, транспорт, зв’язок, торгівля тощо. Міжгалузевий економічний комплекс — це сукупність галузей, підгалузей і виробництв, що перебувають у тісних виробничо-технологічних зв’язках і реалізують важливу національну мету (наприклад, паливно-енергетичний комплекс забезпечує суспільство й економіку паливом та енергією; агропромисловий комплекс — продовольством і сільськогосподарською сировиною).

Легко дійти висновку, що економіка належить до класу складних систем. Можливості, навіть кваліфікованого колективу фахівців, відтворити на вербально-логічному рівні картину поведінки економічних об’єктів (об’єктів керування), що перебувають під впливом великої кількості внутрішніх та зовнішніх чинників, досить обмежені. Тому доводиться залучати на допомогу математичні моделі, котрі доповнюють логіко-описові уявлення щодо поведінки економічних об’єктів і процесів. Існує й відповідний досвід, що має свою досить тривалу (не одного століття) історію.

Проте, визнання об’єктивності ринку та ейфорія з приводу його всемогутності як творця загального щастя — речі різні. Ще з часів Адама Сміта точаться суперечки, виникають колізії між економічними теоріями відносно доцільності втручання держави в економічні процеси. Звичайно, соціалістичне жорстке планування, як і лібералізм (усунення держави від регулювання економіки), — це крайнощі. Міра державного втручання залежить від конкретних обставин. Так, зокрема, у періоди системних трансформацій соціально-економічних процесів роль державного регулювання, на нашу думку, суттєво зростає. Механізм ринкових відносин є ефективним у багатьох сферах економічного буття, але є й сфери, де ринковий механізм безсилий. Більше того, буквальне використання ринкової логіки у цих сферах може призводити до критичної ситуації.

Ринкові механізми не можуть правильно зорієнтуватися в пошуках ефективних рішень у ситуаціях: 1) монополії чи олігополії; 2) значного розриву в часі між витратами й економічним ефектом (лаг — затримка реалізації значних за обсягом інвестицій); 3) зниження додаткових витрат на приріст виробництва продукції за спадаючих цін (ефект науково-технічного прогресу) тощо. Головний «ворог» ринкових механізмів як механізмів організації ефективного функціонування економіки — це, звичайно, монополія. Спробуймо описати математичною мовою колізії, що виникають у разі зіштовхування ринку, його механізмів, з монополією.

Приймемо гіпотезу, згідно з якою економічна система спрямована до максимізації сумарного економічного ефекту (P_S), тобто сумарного прибутку:

де Q — випуск продукту; u(Q) — функція валового економічного ефекту (корисності); du/dQ — приріст валового економічного ефекту (корисності) від кожної додаткової одиниці продукції; s — витрати на виробництво; ds/dQ — приріст витрат на виробництво додаткової одиниці продукції.

Перший елемент правої частини цього виразу характеризує валовий економічний ефект, другий — витрати на виробництво всього обсягу продукції, а вираз у цілому — сумарний економічний ефект (продукт). Легко помітити, що розширення виробництва буде доцільним лише доти, доки додаткові витрати не зрівняються з додатковим валовим економічним ефектом від споживання. Математично це положення доводиться дослідженням наведеного вище виразу (1.7) на максимум. Якщо продиференціювати P_S по Q і похідну прирівняти до нуля, то оптимальний обсяг виробництва, який забезпечує максимум сумарного прибутку, відповідатиме точці Q, у якій ds/dQ = du/dQ , тобто додатковий валовий ефект споживання дорівнює додатковим витратам на виробництво одиниці продукції. Звичайно, тут повинні виконуватись умови:

Але в умовах ринкової економіки відбувається розподіл сумарного економічного ефекту між виробником продукції, її споживачем і бюджетом. Характер цього розподілу значною мірою визначає зацікавленість економічних суб’єктів у досягненні суспільної ефективності, тобто в русі виробництва до точки оптимуму. У чому ж полягають економічні інтереси виробника (l) і споживача (с)? Очевидно, що виробник зацікавлений у максимізації різниці між обсягом реалізації по ціні p та витратами:

де Pl — прибуток виробника.

Споживачеві важливо максимізувати різницю між економічним ефектом від використання продукції та ціною за неї:

де Pc — прибуток споживача.

Якщо виробник не є монополістом, тобто не в змозі вплинути на рівень цін (вільна конкуренція), то p — не залежить від Q, тобто максимум ефекту виробника буде досягнутий у точці, де похідна P_l по Q дорівнюватиме нулеві, тобто коли: p = ds / dQ , а максимум ефекту споживача — в точці, де: p = du / dQ Максимум сумарного ефекту досягається за обсягів виробництва (Qopt), котрі характеризуються співвідношенням

du/dQ =ds/dQ

Звідси можна зробити висновок, що виробник буде зацікавлений у виробленні оптимального, з погляду народного господарства, обсягу продукції (Qopt), а споживач — у повному використанні цієї продукції за умови, коли ціни встановлюються на рівні: popt = du/dQ =ds/dQ

Але якщо виробник контролює значну частку ринку (випуску продукції, галузі) і йому надається право впливати на визначення обсягів випуску продукції, то його інтереси розходяться з народногосподарськими інтересами. Формально цю суперечність можна показати таким чином. Якщо p = f (Q), то . 

Споживачі не в змозі вплинути на обсяги та ціну. Тобто максимум ефекту виробника буде досягнуто за умови: 

Отже, цей результат свідчить про те, що за можливості контролювати значну масу продукції з боку виробника точка його локального оптимуму не збігається з точкою народногосподарського оптимуму. Раціональною є гіпотеза щодо від’ємної еластичності цін та обсягу виробництва (зі зростанням обсягів виробництва ціни на продукцію знижуються), тобто dp/dQ < 0 .

Виробник, прагнучи до максимізації свого локального критерію, буде здебільшого зацікавлений у заморожуванні виробництва на рівні, нижчому, ніж оптимальний (Ql < Qopt), і, відповідно, у завищенні цін pl > p* opt , оскільки 

За подібних умов державне регулювання економіки повинно забезпечити таку організаційну систему функціонування господарських об’єктів, яка використовувала б ефективні методи вилучення доходів у великих виробничих 35 об’єднань (монополій) або їх недопущення. Тобто державне регулювання економіки в даному випадку є необхідним.